गणित Previous Year Paper 2026

प्रश्न 1. एक कार 1 लीटर पेट्रोल में (x - 5) किमी की दूरी तय करती है। (x - 5) लीटर पेट्रोल में कार द्वारा तय की गई दूरी होगी—

(a) x² - 10x - 25

(b) x² - 10x + 25

(c) x² + 10x - 25

(d) x² + 10x + 25

उत्तर: (b) x² - 10x + 25

1 लीटर पेट्रोल में तय दूरी = (x - 5) किमी

पेट्रोल की मात्रा = (x - 5) लीटर

अतः कुल दूरी—

= (x - 5)(x - 5)

= (x - 5)²

हम जानते हैं—

(a - b)² = a² - 2ab + b²

अतः—

(x - 5)²

= x² - 2 × x × 5 + 5²

= x² - 10x + 25

प्रश्न 2. एक कमरे की फर्श का क्षेत्रफल 32 वर्ग मीटर तथा ऊँचाई 4 मीटर है। उस कमरे में हवा का आयतन होगा—

(a) 38 घन मीटर

(b) 128 वर्ग मीटर

(c) 36 घन मीटर

(d) 128 घन मीटर

उत्तर: (d) 128 घन मीटर

कमरे की फर्श का क्षेत्रफल = 32 वर्ग मीटर

ऊँचाई = 4 मीटर

कमरे में हवा का आयतन—

= आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

= 32 × 4

= 128 घन मीटर

अतः कमरे में हवा का आयतन 128 घन मीटर है।

प्रश्न 3. x सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा—

(a) x²√3/4

(b) x√3/4

(c) √(3x²)/4

(d) 4x²/√3

उत्तर: (a) x²√3/4

समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र—

= (√3/4)a²

यहाँ—

a = x सेमी

अतः क्षेत्रफल—

= (√3/4)x²

= x²√3/4 वर्ग सेमी

प्रश्न 4. 32 और 56 का लघुत्तम समापवर्त्य होगा—

(a) 288

(b) 220

(c) 224

(d) 256

उत्तर: (c) 224

अभाज्य गुणनखण्ड करने पर—

32 = 2⁵

56 = 2³ × 7

ल.स. में प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात लेते हैं।

अतः—

ल.स. = 2⁵ × 7

= 32 × 7

= 224

प्रश्न 5. निम्नलिखित संख्याओं में पूर्णांक होगा—

(a) 214

(b) 0

(c) -18

(d) उपयुक्त सभी

उत्तर: (d) उपयुक्त सभी

पूर्णांकों में धनात्मक पूर्ण संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ तथा शून्य सभी शामिल होते हैं।

214 एक धनात्मक पूर्णांक है।

0 भी पूर्णांक है।

-18 एक ऋणात्मक पूर्णांक है।

अतः तीनों संख्याएँ पूर्णांक हैं और सही उत्तर उपयुक्त सभी है।

प्रश्न 6. 3 तथा 5 के गुणनफल को संख्या रेखा पर दर्शाइए।

उत्तर:

3 तथा 5 का गुणनफल—

= 3 × 5

= 15

अतः संख्या रेखा पर 15 को निम्न प्रकार प्रदर्शित करेंगे—

अतः 3 × 5 का गुणनफल संख्या रेखा पर 15 द्वारा प्रदर्शित होगा।

प्रश्न 7. एक किलोग्राम सेब का मूल्य ₹(x² - xy + y²) है। (x + y) किग्रा सेब का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1 किग्रा सेब का मूल्य—

= ₹(x² - xy + y²)

सेब की मात्रा—

= (x + y) किग्रा

अतः कुल मूल्य—

= ₹(x + y)(x² - xy + y²)

हम जानते हैं—

(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³

अतः—

= ₹(x³ + y³)

प्रश्न 8. त्रिभुज की समरूपता की दो शर्तें लिखिए।

उत्तर:

त्रिभुजों की समरूपता की दो प्रमुख शर्तें—

1. AA समरूपता: यदि दो त्रिभुजों के दो संगत कोण बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

2. SAS समरूपता: यदि दो त्रिभुजों की दो संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों तथा उनके बीच का कोण बराबर हो, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रश्न 9. वर्ग-अन्तराल 25–30 की उच्च सीमा एवं मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

वर्ग-अन्तराल = 25–30

निम्न सीमा = 25

उच्च सीमा = 30

मध्य बिन्दु—

= (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2

= (25 + 30)/2

= 55/2

= 27.5

अतः उच्च सीमा 30 तथा मध्य बिन्दु 27.5 है।

प्रश्न 10. परिमेय संख्याओं 2/7 एवं 4/5 के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दो परिमेय संख्याओं के बीच एक परिमेय संख्या उनके औसत से प्राप्त की जा सकती है।

अतः—

= (2/7 + 4/5)/2

= (10/35 + 28/35)/2

= (38/35)/2

= 38/70

= 19/35

अतः 2/7 और 4/5 के बीच एक परिमेय संख्या 19/35 है।

प्रश्न 11. समीकरण 3x - 7 = 17 - x को हल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया समीकरण—

3x - 7 = 17 - x

x वाले पदों को एक ओर तथा अचर पदों को दूसरी ओर लाने पर—

3x + x = 17 + 7

4x = 24

x = 24/4

x = 6

अतः x = 6 है।

प्रश्न 12. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए 5 का वर्ग-अन्तराल लेकर बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए—

3, 8, 24, 16, 19, 9, 7, 2, 12, 13, 11, 23, 14, 18, 12, 19, 14, 21, 11, 6

उत्तर:

दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

2, 3, 6, 7, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 16, 18, 19, 19, 21, 23, 24

5 का वर्ग-अन्तराल लेकर अपवर्जी विधि से बारम्बारता सारणी—

अतः कुल बारम्बारता 20 है, जो दिए गए कुल 20 प्रेक्षणों के बराबर है।

प्रश्न 13. एक हौज की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः 4 मीटर, 2 मीटर तथा 2 मीटर है। यदि हौज में 1.5 मीटर ऊँचाई तक पानी भरा है, तो ज्ञात कीजिए कि हौज में कितने लीटर पानी भरा है?

उत्तर:

हौज की लम्बाई = 4 मीटर

चौड़ाई = 2 मीटर

पानी की ऊँचाई = 1.5 मीटर

हौज में भरे पानी का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × पानी की ऊँचाई

= 4 × 2 × 1.5

= 12 घन मीटर

हम जानते हैं—

1 घन मीटर = 1000 लीटर

अतः—

12 घन मीटर

= 12 × 1000

= 12,000 लीटर

अतः हौज में 12,000 लीटर पानी भरा है।

प्रश्न 14. वह छोटी-से-छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 6 जोड़ने पर वह 12, 16, 24 एवं 27 से विभाजित हो जाए।

उत्तर:

संख्या में 6 जोड़ने पर प्राप्त संख्या 12, 16, 24 और 27 सभी से पूर्णतः विभाजित होनी चाहिए।

अतः पहले 12, 16, 24 और 27 का ल.स. ज्ञात करेंगे।

12 = 2² × 3

16 = 2⁴

24 = 2³ × 3

27 = 3³

अतः—

ल.स. = 2⁴ × 3³

= 16 × 27

= 432

माना अपेक्षित संख्या = x

तब—

x + 6 = 432

x = 432 - 6

x = 426

अतः छोटी-से-छोटी अपेक्षित धनात्मक संख्या 426 है।

प्रश्न 15. 2/7 का गुणात्मक प्रतिलोम एवं योज्य प्रतिलोम का योगफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दी गई संख्या = 2/7

2/7 का गुणात्मक प्रतिलोम—

= 7/2

2/7 का योज्य प्रतिलोम—

= -2/7

दोनों का योग—

= 7/2 + (-2/7)

= 7/2 - 2/7

= (49 - 4)/14

= 45/14

अतः योगफल 45/14 है।

प्रश्न 16. सर्वांगसमता की चारों कसौटियों को चित्र की सहायता से बताइए।

उत्तर:

यदि दो त्रिभुज आकार और माप दोनों में समान हों, तो वे सर्वांगसम त्रिभुज कहलाते हैं। त्रिभुजों की चार प्रमुख सर्वांगसमता कसौटियाँ निम्नलिखित हैं—

1. SSS (भुजा-भुजा-भुजा): यदि दो त्रिभुजों की तीनों संगत भुजाएँ बराबर हों, तो वे सर्वांगसम होते हैं।
2. SAS (भुजा-कोण-भुजा): यदि दो संगत भुजाएँ तथा उनके बीच का कोण बराबर हो, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
3. ASA (कोण-भुजा-कोण): यदि दो संगत कोण तथा उनके बीच की भुजा बराबर हो, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
4. RHS (समकोण-कर्ण-भुजा): यदि दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण तथा एक संगत भुजा बराबर हो, तो वे सर्वांगसम होते हैं।

अतः SSS, SAS, ASA और RHS त्रिभुजों की चार प्रमुख सर्वांगसमता कसौटियाँ हैं।

प्रश्न 17. पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की 7 गुनी है। 5 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की 4 गुनी हो जाएगी। पिता और पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना पुत्र की वर्तमान आयु = x वर्ष

तब पिता की वर्तमान आयु—

= 7x वर्ष

5 वर्ष बाद पुत्र की आयु—

= x + 5 वर्ष

5 वर्ष बाद पिता की आयु—

= 7x + 5 वर्ष

प्रश्नानुसार—

7x + 5 = 4(x + 5)

7x + 5 = 4x + 20

7x - 4x = 20 - 5

3x = 15

x = 5

अतः पुत्र की वर्तमान आयु = 5 वर्ष

पिता की वर्तमान आयु—

= 7 × 5

= 35 वर्ष

अतः पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 35 वर्ष और 5 वर्ष है।

प्रश्न 18. एक वर्गाकार मैदान की एक भुजा 30 मीटर लम्बी है। यदि मैदान के अन्दर चारों ओर 2 मीटर चौड़ा रास्ता पैदल चलने वालों के लिए छोड़ा गया हो, तो शेष मैदान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

वर्गाकार मैदान की भुजा = 30 मीटर

अन्दर चारों ओर रास्ते की चौड़ाई = 2 मीटर

रास्ता दोनों ओर से 2-2 मीटर स्थान घेरेगा।

अतः शेष वर्गाकार मैदान की भुजा—

= 30 - 2 - 2

= 26 मीटर

शेष मैदान का क्षेत्रफल—

= (भुजा)²

= 26²

= 676 वर्ग मीटर

अतः शेष मैदान का क्षेत्रफल 676 वर्ग मीटर है।