गणित Previous Year Paper 2022

प्रश्न 1. सबसे छोटा पूर्णांक है—

(a) 1

(b) 0

(c) -1

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (b) 0

यहाँ प्रश्न में प्रयुक्त “पूर्णांक” शब्द के स्थान पर आशय पूर्ण संख्या (Whole Number) से है।

पूर्ण संख्याएँ हैं—

0, 1, 2, 3, 4, ...

अतः सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है।

प्रश्न 2. उस समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना होगा, जिसका परिमाप 3 मीटर है?

(a) √3/4 सेमी²

(b) √3/4 मीटर²

(c) 9√3/4 मीटर²

(d) 9 मीटर²

उत्तर: (b) √3/4 मीटर²

समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 मीटर

माना प्रत्येक भुजा = a मीटर

अतः—

3a = 3

a = 1 मीटर

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= (√3/4)a²

= (√3/4) × 1²

= √3/4 वर्ग मीटर

अतः सही उत्तर √3/4 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 3. निम्न में से अभाज्य संख्याएँ हैं—

(a) 8, 2, 4

(b) 11, 2, 3

(c) 3, 7, 9

(d) 7, 5, 6

उत्तर: (b) 11, 2, 3

अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक गुणनखण्ड होते हैं— 1 तथा स्वयं संख्या।

11, 2 तथा 3 तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं।

जबकि—

8, 4, 9 तथा 6 भाज्य संख्याएँ हैं।

अतः सही उत्तर 11, 2, 3 है।

प्रश्न 4. परिमेय संख्या -3/4 का योगात्मक एवं गुणात्मक प्रतिलोम होगा—

(a) -3/4 और -4/3

(b) 3/4 और -4/3

(c) -3/4 और 4/3

(d) 3/4 और 4/3

उत्तर: (b) 3/4 और -4/3

किसी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम वह संख्या है जिसे जोड़ने पर योग 0 हो।

अतः -3/4 का योगात्मक प्रतिलोम—

= 3/4

किसी अशून्य संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम वह संख्या है जिससे गुणा करने पर गुणनफल 1 हो।

अतः -3/4 का गुणात्मक प्रतिलोम—

= -4/3

इसलिए सही उत्तर 3/4 और -4/3 है।

प्रश्न 5. निम्नलिखित में से रैखिक समीकरण कौन-सा नहीं है?

(a) x + 8 = 27

(b) 3x - 5 = 2x + 8

(c) 2x² + 3x - 5 = 0

(d) x/5 = 6

उत्तर: (c) 2x² + 3x - 5 = 0

एक चर वाले रैखिक समीकरण में चर की उच्चतम घात 1 होती है।

लेकिन—

2x² + 3x - 5 = 0

में x की उच्चतम घात 2 है।

अतः यह द्विघात समीकरण है, रैखिक समीकरण नहीं।

प्रश्न 6. धन पूर्णांक 4x - 6 के ठीक बाद का धन पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

किसी पूर्णांक के ठीक बाद का पूर्णांक प्राप्त करने के लिए उसमें 1 जोड़ा जाता है।

अतः—

(4x - 6) + 1

= 4x - 5

अतः 4x - 6 के ठीक बाद का पूर्णांक 4x - 5 है।

प्रश्न 7. (-2/3) + (-4/5) - 6/7 को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

-2/3 - 4/5 - 6/7

3, 5 और 7 का ल.स. = 105

अतः—

= (-2 × 35)/105 - (4 × 21)/105 - (6 × 15)/105

= -70/105 - 84/105 - 90/105

= (-70 - 84 - 90)/105

= -244/105

अतः सरल रूप -244/105 है।

प्रश्न 8. 15 सेमी भुजा वाले वर्ग से 5 सेमी भुजा वाले कितने वर्ग काटे जा सकते हैं?

उत्तर:

बड़े वर्ग की भुजा = 15 सेमी

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल—

= 15²

= 225 वर्ग सेमी

छोटे वर्ग की भुजा = 5 सेमी

छोटे वर्ग का क्षेत्रफल—

= 5²

= 25 वर्ग सेमी

छोटे वर्गों की संख्या—

= 225/25

= 9

अतः कुल 9 वर्ग काटे जा सकते हैं।

प्रश्न 9. एक घनाकार बर्तन की कोर 10 सेमी है। बर्तन में रखे जल का आयतन लीटर में ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

घनाकार बर्तन की भुजा = 10 सेमी

घन का आयतन—

= (भुजा)³

= 10³

= 1000 घन सेमी

हम जानते हैं—

1000 घन सेमी = 1000 मिलीलीटर

और—

1000 मिलीलीटर = 1 लीटर

अतः जल का आयतन 1 लीटर है।

प्रश्न 10. (x² - xy + y²) में (x + y) से गुणा कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

(x² - xy + y²)(x + y)

गुणा करने पर—

= x(x² - xy + y²) + y(x² - xy + y²)

= x³ - x²y + xy² + x²y - xy² + y³

समान पदों को काटने पर—

= x³ + y³

अतः गुणनफल x³ + y³ है।

प्रश्न 11. किसी संख्या के एक-चौथाई में से 1 घटाने पर शेषफल 1 है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना वह संख्या = x

प्रश्नानुसार—

x/4 - 1 = 1

x/4 = 2

x = 2 × 4

x = 8

अतः वह संख्या 8 है।

प्रश्न 12. एक वर्गाकार बगीचे के चारों ओर 50 सेमी चौड़ाई का मार्ग बना हुआ है। बगीचे की लम्बाई मार्ग सहित 51 मीटर है। बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

मार्ग सहित बाहरी वर्ग की भुजा = 51 मीटर

मार्ग की चौड़ाई = 50 सेमी

= 0.5 मीटर

मार्ग बगीचे के दोनों ओर 0.5-0.5 मीटर स्थान घेरेगा।

अतः वास्तविक बगीचे की भुजा—

= 51 - (0.5 + 0.5)

= 51 - 1

= 50 मीटर

बगीचे का क्षेत्रफल—

= (भुजा)²

= 50²

= 2500 वर्ग मीटर

अतः बगीचे का क्षेत्रफल 2500 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 13. यदि x² + 1/x² = 82/9 हो, तो x³ - 1/x³ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

x² + 1/x² = 82/9

हम जानते हैं—

(x - 1/x)²

= x² + 1/x² - 2

अतः—

(x - 1/x)²

= 82/9 - 2

= 82/9 - 18/9

= 64/9

वर्गमूल लेने पर—

x - 1/x = ±8/3

अब हम जानते हैं—

x³ - 1/x³

= (x - 1/x)(x² + 1 + 1/x²)

= (±8/3)(82/9 + 1)

= (±8/3)(91/9)

= ±728/27

अतः दी गई जानकारी के आधार पर गणितीय रूप से मान ±728/27 हो सकता है।

नोट: यदि x - 1/x को धनात्मक माना जाए, जैसा मुद्रित समाधान में माना गया है, तो मान 728/27 होगा।

प्रश्न 14. माँ की आयु पिता की आयु से 5 वर्ष कम है। 10 वर्ष पूर्व दोनों की आयु का अनुपात 5 : 6 था। माँ की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना माँ की वर्तमान आयु = x वर्ष

तब पिता की वर्तमान आयु—

= x + 5 वर्ष

10 वर्ष पूर्व माँ की आयु—

= x - 10 वर्ष

10 वर्ष पूर्व पिता की आयु—

= x + 5 - 10

= x - 5 वर्ष

प्रश्नानुसार—

(x - 10)/(x - 5) = 5/6

क्रॉस गुणा करने पर—

6(x - 10) = 5(x - 5)

6x - 60 = 5x - 25

6x - 5x = 60 - 25

x = 35

अतः माँ की वर्तमान आयु 35 वर्ष है।

प्रश्न 15. एक कमरे की लम्बाई 64 मीटर 7 सेमी तथा चौड़ाई 20 मीटर 21 सेमी है। उस बड़ी-से-बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसे बिना तोड़े फर्श पर लगाया जा सके।

उत्तर:

कमरे की लम्बाई = 64 मीटर 7 सेमी

= 6400 + 7

= 6407 सेमी

कमरे की चौड़ाई = 20 मीटर 21 सेमी

= 2000 + 21

= 2021 सेमी

सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा 6407 और 2021 का म.स. होगी।

भाग विधि से—

6407 = 2021 × 3 + 344

2021 = 344 × 5 + 301

344 = 301 × 1 + 43

301 = 43 × 7 + 0

अतः—

म.स. = 43

इसलिए सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा 43 सेमी होगी।

प्रश्न 16. वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल 154 वर्ग मीटर है। उसके व्यास की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

वृत्त का क्षेत्रफल = 154 वर्ग मीटर

हम जानते हैं—

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

अतः—

154 = (22/7)r²

r² = (154 × 7)/22

= 49

r = 7 मीटर

व्यास—

= 2r

= 2 × 7

= 14 मीटर

अतः वृत्ताकार मैदान का व्यास 14 मीटर है।

प्रश्न 17. 112 - [121 ÷ (11 × 11) - (-4) - {3 - 8 - 1}] को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

112 - [121 ÷ (11 × 11) - (-4) - {3 - 8 - 1}]

रेखांकित भाग को पहले हल करने पर—

8 - 1 = 7

अतः—

= 112 - [121 ÷ 121 + 4 - {3 - 7}]

= 112 - [1 + 4 - (-4)]

= 112 - [1 + 4 + 4]

= 112 - 9

= 103

अतः दिए गए व्यंजक का मान 103 है।

प्रश्न 18. एक टोकरी में यादृच्छिक रूप से चुने गए 30 संतरों के भार (ग्रामों में) नीचे दिए गए हैं। वर्गमाप 10 लेकर टैली चिह्न बनाते हुए बारम्बारता सारणी बनाइए।

45, 55, 30, 75, 40, 60, 65, 40, 75, 70, 60, 70, 80, 35, 45, 40, 50, 60, 65, 55, 45, 30, 75, 75, 70, 80, 70, 55, 30, 70

उत्तर:

आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

30, 30, 30, 35, 40, 40, 40, 45, 45, 45, 50, 55, 55, 55, 60, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 80, 80

अतः कुल बारम्बारता 30 है, जो दिए गए कुल 30 संतरों के बराबर है।