गणित Previous Year Paper 2018

प्रश्न 1. परिमेय संख्या -24/45 के समतुल्य संख्या है—

(a) 12/20

(b) -8/15

(c) -6/9

(d) 4/11

उत्तर: (b) -8/15

दी गई परिमेय संख्या—

-24/45

अंश और हर दोनों को 3 से भाग देने पर—

= (-24 ÷ 3)/(45 ÷ 3)

= -8/15

अतः -24/45 के समतुल्य परिमेय संख्या -8/15 है।

प्रश्न 2. समीकरण x/4 + 10 = -4 में x का मान होगा—

(a) -56

(b) 56

(c) 24

(d) -24

उत्तर: (a) -56

दिया गया समीकरण—

x/4 + 10 = -4

x/4 = -4 - 10

x/4 = -14

x = -14 × 4

x = -56

अतः सही उत्तर -56 है।

प्रश्न 3. एक वर्ग जिसकी भुजा 1.6 मीटर है, वर्ग का क्षेत्रफल होगा—

(a) 256 वर्ग मीटर

(b) 2.56 वर्ग मीटर

(c) 25.6 वर्ग मीटर

(d) 0.256 वर्ग मीटर

उत्तर: (b) 2.56 वर्ग मीटर

वर्ग की भुजा = 1.6 मीटर

वर्ग का क्षेत्रफल—

= (भुजा)²

= 1.6 × 1.6

= 2.56 वर्ग मीटर

अतः वर्ग का क्षेत्रफल 2.56 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 4. सबसे छोटी सम अभाज्य संख्या है—

(a) 1

(b) 2

(c) 0

(d) 4

उत्तर: (b) 2

2 के केवल दो धनात्मक गुणनखण्ड 1 और 2 हैं, इसलिए यह अभाज्य संख्या है।

साथ ही 2 सम संख्या भी है।

अतः सबसे छोटी तथा एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है।

प्रश्न 5. किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 45 वर्ग सेमी तथा आधार 15 सेमी है। इस त्रिभुज की ऊँचाई है—

(a) 15 सेमी

(b) 4 सेमी

(c) 3 सेमी

(d) 6 सेमी

उत्तर: (d) 6 सेमी

दिया है—

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 45 वर्ग सेमी

आधार = 15 सेमी

माना ऊँचाई = h सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= 1/2 × आधार × ऊँचाई

अतः—

45 = 1/2 × 15 × h

90 = 15h

h = 90/15

= 6 सेमी

अतः त्रिभुज की ऊँचाई 6 सेमी है।

प्रश्न 6. यदि a² + 1/a² = 2 हो, तो (1/a + a) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

a² + 1/a² = 2

हम जानते हैं—

(a + 1/a)²

= a² + 2 × a × 1/a + 1/a²

= a² + 2 + 1/a²

मान रखने पर—

(a + 1/a)² = 2 + 2

= 4

अतः—

a + 1/a = ±2

अतः गणितीय रूप से मान ±2 हो सकता है। यदि a को धनात्मक माना जाए, तो मान 2 होगा।

प्रश्न 7. (-4/9) का गुणात्मक प्रतिलोम बताइए।

उत्तर:

किसी अशून्य परिमेय संख्या a/b का गुणात्मक प्रतिलोम b/a होता है।

अतः—

-4/9 का गुणात्मक प्रतिलोम—

= -9/4

क्योंकि—

(-4/9) × (-9/4) = 1

प्रश्न 8. 5 पुस्तकों का मूल्य 7 पुस्तकों के मूल्य से ₹72 कम है। एक पुस्तक का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना एक पुस्तक का मूल्य = ₹x

5 पुस्तकों का मूल्य = ₹5x

7 पुस्तकों का मूल्य = ₹7x

प्रश्नानुसार—

7x - 5x = 72

2x = 72

x = 72/2

x = 36

अतः एक पुस्तक का मूल्य ₹36 है।

प्रश्न 9. तीन क्रमागत संख्याओं का योग 87 है। द्वितीय क्रमागत संख्या का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना द्वितीय क्रमागत संख्या = x

तब तीन क्रमागत संख्याएँ होंगी—

x - 1, x, x + 1

प्रश्नानुसार—

(x - 1) + x + (x + 1) = 87

3x = 87

x = 87/3

x = 29

अतः द्वितीय क्रमागत संख्या 29 है।

प्रश्न 10. एक आयत की लम्बाई 10 सेमी तथा चौड़ाई 6 सेमी है। आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

लम्बाई = 10 सेमी

चौड़ाई = 6 सेमी

आयत का परिमाप—

= 2(लम्बाई + चौड़ाई)

= 2(10 + 6)

= 2 × 16

= 32 सेमी

अतः आयत का परिमाप 32 सेमी है।

प्रश्न 11. एक बर्तन में 7800 घन सेमी पानी है। बर्तन में कितने लीटर पानी है?

उत्तर:

पानी का आयतन = 7800 घन सेमी

हम जानते हैं—

1000 घन सेमी = 1 लीटर

अतः—

7800 घन सेमी

= 7800/1000 लीटर

= 7.8 लीटर

अतः बर्तन में 7.8 लीटर पानी है।

प्रश्न 12. वर्गाकार पार्क जिसकी भुजा 30 मीटर है, इसके चारों ओर 1 मीटर चौड़ा रास्ता है। पार्क में ₹2 प्रति वर्ग मीटर की दर से घास लगाने का खर्च ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

वर्गाकार पार्क की भुजा = 30 मीटर

पार्क के अन्दर चारों ओर रास्ते की चौड़ाई = 1 मीटर

रास्ता दोनों ओर 1-1 मीटर स्थान घेरेगा।

अतः घास वाले भाग की भुजा—

= 30 - 1 - 1

= 28 मीटर

घास वाले भाग का क्षेत्रफल—

= 28²

= 784 वर्ग मीटर

घास लगाने की दर = ₹2 प्रति वर्ग मीटर

कुल खर्च—

= 784 × 2

= ₹1568

अतः घास लगाने का कुल खर्च ₹1568 होगा।

प्रश्न 13. यदि (a + b) = 12 तथा (a - b) = 2 हो, तो a² - b² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

a + b = 12

a - b = 2

हम जानते हैं—

a² - b²

= (a + b)(a - b)

मान रखने पर—

= 12 × 2

= 24

अतः a² - b² का मान 24 है।

प्रश्न 14. एक न्याय पंचायत में (3x + 2) ग्राम सभाएँ हैं। यदि प्रत्येक ग्राम सभा में (x² + 3x + 6) मतदाता हैं तथा x = 2 हो, तो कुल मतदाताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

ग्राम सभाओं की संख्या—

= 3x + 2

प्रत्येक ग्राम सभा में मतदाता—

= x² + 3x + 6

अतः कुल मतदाताओं की संख्या—

= (3x + 2)(x² + 3x + 6)

x = 2 रखने पर—

ग्राम सभाओं की संख्या—

= 3 × 2 + 2

= 8

प्रत्येक ग्राम सभा में मतदाता—

= 2² + 3 × 2 + 6

= 4 + 6 + 6

= 16

अतः कुल मतदाता—

= 8 × 16

= 128

अतः कुल मतदाताओं की संख्या 128 है।

प्रश्न 15. यदि ab = 5 तथा a - b = 4 हो, तो (a³ + b³) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

ab = 5

a - b = 4

हम जानते हैं—

(a - b)² = (a + b)² - 4ab

अतः—

4² = (a + b)² - 4 × 5

16 = (a + b)² - 20

(a + b)² = 36

अतः—

a + b = ±6

अब हम जानते हैं—

a³ + b³

= (a + b)³ - 3ab(a + b)

यदि a + b = 6 हो—

= 6³ - 3 × 5 × 6

= 216 - 90

= 126

यदि a + b = -6 हो—

= (-6)³ - 3 × 5 × (-6)

= -216 + 90

= -126

अतः दी गई जानकारी के आधार पर गणितीय रूप से मान ±126 हो सकता है। यदि a और b को धनात्मक माना जाए, तो अपेक्षित उत्तर 126 है।

प्रश्न 16. एक घनाभाकार लकड़ी के टुकड़े का आयतन 264 घन सेमी है। यदि टुकड़ा 8 सेमी लम्बा तथा 6 सेमी चौड़ा है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

घनाभ का आयतन = 264 घन सेमी

लम्बाई = 8 सेमी

चौड़ाई = 6 सेमी

माना ऊँचाई = h सेमी

घनाभ का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

अतः—

264 = 8 × 6 × h

264 = 48h

h = 264/48

= 11/2

= 5.5 सेमी

अतः टुकड़े की ऊँचाई 5.5 सेमी है।

प्रश्न 17. एक रेलगाड़ी 120 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को 12 सेकण्ड में पार करती है तथा एक खम्भे को 2 2/5 सेकण्ड में पार करती है। रेलगाड़ी की लम्बाई तथा रेलगाड़ी की चाल किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना रेलगाड़ी की लम्बाई = x मीटर

खम्भे को पार करने में समय—

= 2 2/5 सेकण्ड

= 12/5 सेकण्ड

खम्भे को पार करते समय रेलगाड़ी अपनी लम्बाई के बराबर दूरी तय करती है।

अतः रेलगाड़ी की चाल—

= x ÷ (12/5)

= 5x/12 मीटर/सेकण्ड

प्लेटफार्म की लम्बाई = 120 मीटर

प्लेटफार्म पार करते समय कुल दूरी—

= x + 120 मीटर

समय = 12 सेकण्ड

अतः चाल—

= (x + 120)/12 मीटर/सेकण्ड

दोनों चाल बराबर होंगी—

5x/12 = (x + 120)/12

5x = x + 120

4x = 120

x = 30

अतः रेलगाड़ी की लम्बाई = 30 मीटर

अब चाल—

= 30 ÷ (12/5)

= 30 × 5/12

= 12.5 मीटर/सेकण्ड

मीटर/सेकण्ड को किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करते हैं।

अतः चाल—

= 12.5 × 18/5

= 2.5 × 18

= 45 किमी/घंटा

अतः रेलगाड़ी की लम्बाई 30 मीटर तथा चाल 45 किमी/घंटा है।

प्रश्न 18. नीचे दिए गए बारम्बारता बंटन को आयत चित्र (Histogram) द्वारा प्रदर्शित कीजिए।

उत्तर:

सभी वर्ग-अन्तरालों की चौड़ाई समान 10 है, इसलिए प्रत्येक वर्ग की बारम्बारता के अनुसार समान चौड़ाई के जुड़े हुए आयत बनाए जाएँगे।

अतः Histogram में 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 तथा 50–60 वर्ग-अन्तरालों की ऊँचाइयाँ क्रमशः 2, 8, 15, 20, 16 और 6 होंगी।