गणित Previous Year Paper 2020

प्रश्न 1. एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 5 सेमी और 8 सेमी हैं, तो त्रिभुज होगा—

(a) समकोण त्रिभुज

(b) अधिककोण त्रिभुज

(c) विषमबाहु त्रिभुज

(d) त्रिभुज सम्भव नहीं है

उत्तर: (d) त्रिभुज सम्भव नहीं है

त्रिभुज बनने के लिए किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए।

यहाँ—

3 + 5 = 8

लेकिन त्रिभुज बनने के लिए—

3 + 5 > 8

होना आवश्यक है।

चूँकि 3 + 5 = 8 है, इसलिए इन भुजाओं से त्रिभुज नहीं बन सकता।

अतः सही उत्तर त्रिभुज सम्भव नहीं है है।

प्रश्न 2. निम्नलिखित संख्याओं में से प्राकृतिक संख्या है—

(a) 2

(b) √2

(c) 3.5

(d) 0

उत्तर: (a) 2

इस प्रश्न में प्रयुक्त प्रचलित विद्यालयी परिभाषा के अनुसार प्राकृतिक संख्याएँ हैं—

1, 2, 3, 4, 5, ...

√2 अपरिमेय संख्या है तथा 3.5 दशमलव संख्या है।

अतः दिए गए विकल्पों में 2 प्राकृतिक संख्या है।

प्रश्न 3. निम्नलिखित में से कौन-सी परिमेय संख्या नहीं है?

(a) 22/7

(b) π

(c) 0.69

(d) 5/√16

उत्तर: (b) π

22/7 एक परिमेय संख्या है।

0.69 = 69/100, इसलिए यह भी परिमेय संख्या है।

और—

5/√16 = 5/4

यह भी परिमेय संख्या है।

लेकिन π को दो पूर्णांकों के अनुपात p/q के रूप में ठीक-ठीक व्यक्त नहीं किया जा सकता।

अतः π अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 4. निम्नलिखित में सर्वसमिका है—

(a) 2x + 3 = 5

(b) 2(x + 1) = 2x + 2

(c) 4x = 2x + 6

(d) x + 4 = 3x

उत्तर: (b) 2(x + 1) = 2x + 2

सर्वसमिका वह समानता है जो चर के प्रत्येक स्वीकार्य मान के लिए सत्य होती है।

विकल्प (b) में—

2(x + 1)

= 2x + 2

जो x के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।

अतः 2(x + 1) = 2x + 2 एक सर्वसमिका है।

प्रश्न 5. 3^{x + 2} = 81 हो, तो x का मान होगा—

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

उत्तर: (a) 2

दिया है—

3^{x + 2} = 81

हम जानते हैं—

81 = 3⁴

अतः—

3^{x + 2} = 3⁴

समान आधार होने पर घात समान होंगी—

x + 2 = 4

x = 4 - 2

x = 2

अतः सही उत्तर 2 है।

प्रश्न 6. x² - 7x + 6 = 0 को हल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया समीकरण—

x² - 7x + 6 = 0

मध्य पद को विभाजित करने पर—

x² - 6x - x + 6 = 0

x(x - 6) - 1(x - 6) = 0

(x - 6)(x - 1) = 0

अतः—

x - 6 = 0

या

x - 1 = 0

इसलिए—

x = 6 या x = 1

प्रश्न 7. 5 पुस्तकों का मूल्य 7 पुस्तकों के मूल्य से 14 रुपये कम है। एक पुस्तक का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना एक पुस्तक का मूल्य = ₹x

5 पुस्तकों का मूल्य = ₹5x

7 पुस्तकों का मूल्य = ₹7x

प्रश्नानुसार—

5x = 7x - 14

7x - 5x = 14

2x = 14

x = 14/2

x = 7

अतः एक पुस्तक का मूल्य ₹7 है।

प्रश्न 8. यदि a + 1/a = 3 हो, तो a² + 1/a² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

a + 1/a = 3

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर—

(a + 1/a)² = 3²

हम जानते हैं—

(x + y)² = x² + 2xy + y²

अतः—

a² + 2 × a × 1/a + 1/a² = 9

a² + 2 + 1/a² = 9

a² + 1/a² = 9 - 2

= 7

अतः मान 7 है।

प्रश्न 9. एक बगीचे में 2025 पौधे लगे हैं। प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे लगे हैं जितनी बगीचे में कुल पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में कुल कितने पौधे लगे हैं?

उत्तर:

कुल पौधों की संख्या = 2025

माना पंक्तियों की संख्या = x

प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या भी = x

अतः—

x × x = 2025

x² = 2025

x = √2025

x = √(45 × 45)

x = 45

अतः प्रत्येक पंक्ति में 45 पौधे लगे हैं।

प्रश्न 10. एक पुस्तक का मूल्य (5x² + 2x + 1) है। इसी प्रकार की (2x + 5) पुस्तकों का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

एक पुस्तक का मूल्य—

= 5x² + 2x + 1

पुस्तकों की संख्या—

= 2x + 5

अतः कुल मूल्य—

= (2x + 5)(5x² + 2x + 1)

= 2x(5x² + 2x + 1) + 5(5x² + 2x + 1)

= 10x³ + 4x² + 2x + 25x² + 10x + 5

= 10x³ + 29x² + 12x + 5

अतः कुल मूल्य 10x³ + 29x² + 12x + 5 होगा।

प्रश्न 11. -1/2 तथा 5/4 के मध्य 2 समदूरस्थ संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

पहली संख्या = -1/2

अन्तिम संख्या = 5/4

दो समदूरस्थ संख्याएँ रखने पर पूरा अन्तर 3 समान भागों में विभाजित होगा।

कुल अन्तर—

= 5/4 - (-1/2)

= 5/4 + 1/2

= 5/4 + 2/4

= 7/4

समान अन्तर—

= (7/4)/3

= 7/12

पहली समदूरस्थ संख्या—

= -1/2 + 7/12

= -6/12 + 7/12

= 1/12

दूसरी समदूरस्थ संख्या—

= 1/12 + 7/12

= 8/12

= 2/3

अतः दो समदूरस्थ संख्याएँ 1/12 और 2/3 हैं।

प्रश्न 12. x⁴y - xy⁴ का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x⁴y - xy⁴

दोनों पदों में xy उभयनिष्ठ है।

अतः—

= xy(x³ - y³)

हम जानते हैं—

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

अतः—

x³ - y³

= (x - y)(x² + xy + y²)

इसलिए—

x⁴y - xy⁴

= xy(x - y)(x² + xy + y²)

अतः गुणनखण्ड xy(x - y)(x² + xy + y²) है।

प्रश्न 13. एक वर्गाकार मैदान की एक भुजा 28 मीटर लम्बी है। यदि मैदान के अन्दर चारों ओर 2 मीटर चौड़ा रास्ता पैदल चलने वालों के लिए छोड़ा गया हो, तो शेष मैदान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

वर्गाकार मैदान की भुजा = 28 मीटर

चारों ओर अन्दर की ओर रास्ते की चौड़ाई = 2 मीटर

रास्ता दोनों ओर से 2-2 मीटर स्थान घेरेगा।

अतः शेष वर्गाकार मैदान की भुजा—

= 28 - 2 - 2

= 24 मीटर

शेष मैदान का क्षेत्रफल—

= (भुजा)²

= 24²

= 576 वर्ग मीटर

अतः शेष मैदान का क्षेत्रफल 576 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 14. दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 40 सेमी तथा 50 सेमी हैं। पहले और दूसरे त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

पहले त्रिभुज का परिमाप = 40 सेमी

दूसरे त्रिभुज का परिमाप = 50 सेमी

समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है।

अतः भुजाओं का अनुपात—

= 40/50

= 4/5

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

अतः—

क्षेत्रफलों का अनुपात—

= (4/5)²

= 16/25

अतः पहले और दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात 16 : 25 है।

प्रश्न 15. 671, 781 एवं 1441 का भाग विधि से म.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

पहले 781 और 671 का म.स. भाग विधि से ज्ञात करते हैं—

781 = 671 × 1 + 110

671 = 110 × 6 + 11

110 = 11 × 10 + 0

अतः—

म.स. (671, 781) = 11

अब 1441 को 11 से भाग देने पर—

1441 = 11 × 131 + 0

अतः 1441 भी 11 से पूर्णतः विभाजित है।

इसलिए—

म.स. (671, 781, 1441) = 11

प्रश्न 16. 4, 11, 16, 15, 12, 5, 7, 10 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिए गए आँकड़े—

4, 11, 16, 15, 12, 5, 7, 10

आरोही क्रम में—

4, 5, 7, 10, 11, 12, 15, 16

कुल पदों की संख्या—

n = 8

चूँकि n सम संख्या है, इसलिए माध्यिका—

= [(n/2)वाँ पद + (n/2 + 1)वाँ पद]/2

= [4वाँ पद + 5वाँ पद]/2

= (10 + 11)/2

= 21/2

= 10.5

अतः दिए गए आँकड़ों की माध्यिका 10.5 है।

प्रश्न 17. एक आयत की लम्बाई उसकी चौड़ाई से 5 सेमी अधिक है। यदि उसका परिमाप 26 सेमी हो, तो आयत की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

आयत का परिमाप = 26 सेमी

माना चौड़ाई = x सेमी

तब लम्बाई = x + 5 सेमी

आयत का परिमाप—

= 2(लम्बाई + चौड़ाई)

अतः—

26 = 2[(x + 5) + x]

26 = 2(2x + 5)

13 = 2x + 5

2x = 13 - 5

2x = 8

x = 4

अतः चौड़ाई = 4 सेमी

लम्बाई—

= 4 + 5

= 9 सेमी

अतः आयत की लम्बाई 9 सेमी है।

प्रश्न 18. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए 5 का वर्ग-अन्तराल लेकर बारम्बारता सारणी बनाइए—

2, 4, 8, 11, 14, 16, 20, 28, 25, 40, 30, 48

उत्तर:

दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

2, 4, 8, 11, 14, 16, 20, 25, 28, 30, 40, 48

5 का वर्ग-अन्तराल लेकर अपवर्जी विधि से सारणी बनाते हैं—

अतः कुल बारम्बारता 12 है, जो दिए गए कुल 12 प्रेक्षणों के बराबर है।