गणित Previous Year Paper 2015

प्रश्न 1. √2, √4, √0.4, √0.2 में परिमेय संख्या है—

(a) √4

(b) √2

(c) √0.4

(d) √0.2

उत्तर: (a) √4

हम जानते हैं—

√4 = 2

और 2 को 2/1 के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है।

जबकि √2, √0.4 तथा √0.2 अपरिमेय संख्याएँ हैं।

अतः सही उत्तर √4 है।

प्रश्न 2. 33.328 में अंक 2 का स्थानीय मान होगा—

(a) 20

(b) 2

(c) 0.02

(d) 0.2

उत्तर: (c) 0.02

संख्या = 33.328

दशमलव के बाद—

3 = दशांश का अंक

2 = शतांश का अंक

8 = सहस्रांश का अंक

अतः 2 का स्थानीय मान—

= 2/100

= 0.02

प्रश्न 3. यदि 2(x + 1) = 16 हो, तो x का मान होगा—

(a) 2

(b) 3

(c) 8

(d) 7

उत्तर: (d) 7

दिया है—

2(x + 1) = 16

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर—

x + 1 = 8

x = 8 - 1

x = 7

अतः सही उत्तर 7 है।

प्रश्न 4. 1/8 - 3/8 + 2/8 ÷ (1/4 का 1/2) का मान होगा—

(a) -7/4

(b) 7/8

(c) 7/4

(d) 5/8

उत्तर: (c) 7/4

दिया गया व्यंजक—

1/8 - 3/8 + 2/8 ÷ (1/4 का 1/2)

पहले “का” हल करेंगे—

1/4 का 1/2

= 1/4 × 1/2

= 1/8

अब—

= 1/8 - 3/8 + 2/8 ÷ 1/8

= 1/8 - 3/8 + 2

= -2/8 + 2

= -1/4 + 2

= -1/4 + 8/4

= 7/4

अतः सही उत्तर 7/4 है।

प्रश्न 5. एक त्रिभुज की भुजाएँ 2 सेमी, 3 सेमी और 5 सेमी हैं, तो त्रिभुज होगा—

(a) समकोण त्रिभुज

(b) अधिककोण त्रिभुज

(c) विषमबाहु त्रिभुज

(d) त्रिभुज सम्भव नहीं है

उत्तर: (d) त्रिभुज सम्भव नहीं है

त्रिभुज बनने के लिए किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए।

यहाँ—

2 + 3 = 5

लेकिन त्रिभुज बनने के लिए—

2 + 3 > 5

होना चाहिए।

अतः इन तीनों भुजाओं से त्रिभुज सम्भव नहीं है।

प्रश्न 6. x³y - xy³ का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x³y - xy³

दोनों पदों में xy उभयनिष्ठ है।

अतः—

= xy(x² - y²)

हम जानते हैं—

a² - b² = (a + b)(a - b)

अतः—

= xy(x + y)(x - y)

अतः गुणनखण्ड xy(x + y)(x - y) हैं।

प्रश्न 7. एक बगीचे में 2025 पौधे लगे हैं। प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे लगे हैं जितनी बगीचे में कुल पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में कुल कितने पौधे लगे हैं?

उत्तर:

कुल पौधों की संख्या = 2025

माना पंक्तियों की संख्या = x

प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या भी = x

अतः—

x × x = 2025

x² = 2025

x = √2025

x = √(45 × 45)

x = 45

अतः प्रत्येक पंक्ति में 45 पौधे लगे हैं।

प्रश्न 8. एक वर्गाकार तार का क्षेत्रफल 144 वर्ग सेमी है। इसे मोड़कर एक आयत बनाया गया। यदि आयत की लम्बाई 16 सेमी है, तो आयत की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

वर्ग का क्षेत्रफल = 144 वर्ग सेमी

माना वर्ग की भुजा = a सेमी

अतः—

a² = 144

a = √144

a = 12 सेमी

वर्ग का परिमाप—

= 4 × 12

= 48 सेमी

इसी तार को मोड़कर आयत बनाया गया है, इसलिए आयत का परिमाप भी 48 सेमी होगा।

आयत की लम्बाई = 16 सेमी

माना चौड़ाई = b सेमी

आयत का परिमाप—

= 2(लम्बाई + चौड़ाई)

अतः—

48 = 2(16 + b)

24 = 16 + b

b = 24 - 16

b = 8 सेमी

अतः आयत की चौड़ाई 8 सेमी है।

प्रश्न 9. एक कक्षा में 3x² + 5x - 9 बालक एवं x² + 5x + 4 बालिकाएँ पढ़ती हैं। कक्षा में बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से कितनी अधिक है?

उत्तर:

बालकों की संख्या—

= 3x² + 5x - 9

बालिकाओं की संख्या—

= x² + 5x + 4

अन्तर—

= (3x² + 5x - 9) - (x² + 5x + 4)

कोष्ठक खोलने पर—

= 3x² + 5x - 9 - x² - 5x - 4

समान पदों को मिलाने पर—

= 2x² - 13

अतः बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 2x² - 13 अधिक है।

प्रश्न 10. 3, 5, x, 9, 11 का समान्तर माध्य 7 है। x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

समान्तर माध्य = 7

कुल पदों की संख्या = 5

समान्तर माध्य का सूत्र—

= सभी पदों का योग/पदों की संख्या

अतः—

(3 + 5 + x + 9 + 11)/5 = 7

(28 + x)/5 = 7

28 + x = 35

x = 35 - 28

x = 7

अतः x = 7 है।

प्रश्न 11. यदि 9 : x :: x : 16 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

9 : x :: x : 16

अर्थात—

9/x = x/16

क्रॉस गुणा करने पर—

x² = 9 × 16

x² = 144

अनुपात में धनात्मक मान लेने पर—

x = √144

x = 12

अतः x = 12 है।

प्रश्न 12. एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 3√3 सेमी है। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई—

h = 3√3 सेमी

हम जानते हैं—

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई—

h = (√3/2)a

अतः—

3√3 = (√3/2)a

दोनों पक्षों को √3 से भाग देने पर—

3 = a/2

a = 6 सेमी

अब समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= (√3/4)a²

= (√3/4) × 6²

= (√3/4) × 36

= 9√3 वर्ग सेमी

अतः समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 9√3 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 13. x⁴y - xy⁴ का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x⁴y - xy⁴

दोनों पदों में xy उभयनिष्ठ है।

अतः—

= xy(x³ - y³)

हम जानते हैं—

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

अतः—

x³ - y³

= (x - y)(x² + xy + y²)

इसलिए—

x⁴y - xy⁴

= xy(x - y)(x² + xy + y²)

अतः गुणनखण्ड xy(x - y)(x² + xy + y²) हैं।

प्रश्न 14. √121 + √64 - √0.04 + √0.16 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

√121 + √64 - √0.04 + √0.16

हम जानते हैं—

√121 = 11

√64 = 8

√0.04 = 0.2

√0.16 = 0.4

अतः—

= 11 + 8 - 0.2 + 0.4

= 19 - 0.2 + 0.4

= 18.8 + 0.4

= 19.2

अतः दिए गए व्यंजक का मान 19.2 है।

प्रश्न 15. एक काम 30 मजदूर 16 दिन में करते हैं। 12 मजदूर उसी काम को कितने दिन में करेंगे?

उत्तर:

पहले मजदूरों की संख्या = 30

समय = 16 दिन

अब मजदूरों की संख्या = 12

माना आवश्यक समय = x दिन

काम समान होने पर मजदूरों की संख्या और समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

अतः—

30 × 16 = 12 × x

480 = 12x

x = 480/12

x = 40 दिन

अतः 12 मजदूर उस काम को 40 दिनों में पूरा करेंगे।

प्रश्न 16. 4, 11, 16, 15, 12, 5, 7, 9, 10 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिए गए आँकड़े—

4, 11, 16, 15, 12, 5, 7, 9, 10

आरोही क्रम में—

4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 15, 16

कुल पदों की संख्या—

n = 9

चूँकि n विषम है, इसलिए माध्यिका—

= (n + 1)/2 वाँ पद

= (9 + 1)/2 वाँ पद

= 5वाँ पद

5वाँ पद = 10

अतः माध्यिका 10 है।

प्रश्न 17. चित्र में ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा 7 सेमी है। वर्ग के अन्दर खींचे गए वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

वर्ग की भुजा = 7 सेमी

वर्ग के अन्दर अंकित वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होगा।

अतः—

वृत्त का व्यास = 7 सेमी

वृत्त की परिधि—

= πd

= 22/7 × 7

= 22 सेमी

अतः वृत्त की परिधि 22 सेमी है।

प्रश्न 18. त्रिभुज ABC में D, AB का मध्य बिन्दु तथा E, AC का मध्य बिन्दु है। यदि BC = 6 सेमी हो, तो DE की माप ज्ञात कीजिए तथा BC और DE में सम्बन्ध बताइए।

उत्तर:

दिया है—

D, AB का मध्य बिन्दु है।

E, AC का मध्य बिन्दु है।

BC = 6 सेमी

त्रिभुज के मध्य बिन्दु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड तीसरी भुजा के समान्तर तथा उसकी आधी लम्बाई का होता है।

अतः—

DE = 1/2 × BC

= 1/2 × 6

= 3 सेमी

तथा—

DE ∥ BC

अतः DE = 3 सेमी तथा DE, BC के समान्तर है।