गणित Previous Year Paper 2019

प्रश्न 1. दो असमान परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ होती हैं—

(a) 10

(b) 1

(c) अनन्त

(d) 2

उत्तर: (c) अनन्त

किन्हीं भी दो असमान परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, यदि दो परिमेय संख्याएँ a तथा b हैं और a < b, तो उनके बीच एक परिमेय संख्या—

= (a + b)/2

होगी।

इसी प्रक्रिया को बार-बार दोहराकर उनके बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

प्रश्न 2. निम्नलिखित कथनों में सत्य कथन है—

(a) एक धनात्मक पूर्णांक अपने योगात्मक प्रतिलोम से बड़ा होता है।

(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक अपने योगात्मक प्रतिलोम से बड़ा होता है।

(c) शून्य एक पूर्णांक नहीं है।

(d) -17 > -5

उत्तर: (a) एक धनात्मक पूर्णांक अपने योगात्मक प्रतिलोम से बड़ा होता है।

यदि कोई धनात्मक पूर्णांक a है, तो उसका योगात्मक प्रतिलोम -a होगा।

जहाँ—

a > -a

उदाहरण—

5 > -5

अतः कथन (a) सत्य है।

प्रश्न 3. 21 की अनुवर्ती की अनुवर्ती संख्या है—

(a) 19

(b) 20

(c) 22

(d) 23

उत्तर: (d) 23

21 की अनुवर्ती संख्या—

= 21 + 1

= 22

अब 22 की अनुवर्ती संख्या—

= 22 + 1

= 23

अतः सही उत्तर 23 है।

प्रश्न 4. एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल 0.5 हेक्टेयर है। यदि इस मैदान की एक भुजा 125 मीटर है, तो दूसरी भुजा की माप होगी—

(a) 0.4 मीटर

(b) 4 मीटर

(c) 40 मीटर

(d) 250 मीटर

उत्तर: (c) 40 मीटर

दिया है—

मैदान का क्षेत्रफल = 0.5 हेक्टेयर

1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर

अतः—

0.5 हेक्टेयर = 0.5 × 10,000

= 5000 वर्ग मीटर

एक भुजा = 125 मीटर

माना दूसरी भुजा = x मीटर

आयत का क्षेत्रफल—

= लम्बाई × चौड़ाई

अतः—

5000 = 125 × x

x = 5000/125

= 40 मीटर

अतः दूसरी भुजा की माप 40 मीटर है।

प्रश्न 5. 1 घन मीटर बराबर है—

(a) 1000 घन सेमी

(b) 10 लीटर

(c) 100 लीटर

(d) 1000 लीटर

उत्तर: (d) 1000 लीटर

हम जानते हैं—

1 लीटर = 0.001 घन मीटर

= 10^-3 घन मीटर

अतः—

1 घन मीटर = 1/10^-3 लीटर

= 10³ लीटर

= 1000 लीटर

प्रश्न 6. दो परिमेय संख्याओं का योगफल -1/3 है। यदि इनमें से एक संख्या -5/18 हो, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दोनों संख्याओं का योग = -1/3

पहली संख्या = -5/18

माना दूसरी संख्या = x

प्रश्नानुसार—

-5/18 + x = -1/3

x = -1/3 + 5/18

= -6/18 + 5/18

= -1/18

अतः दूसरी परिमेय संख्या -1/18 है।

प्रश्न 7. एक वर्गाकार खेत की भुजा (3x + 17) मीटर है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जबकि x = -3 है।

उत्तर:

वर्गाकार खेत की भुजा = (3x + 17) मीटर

दिया है—

x = -3

अतः भुजा—

= 3(-3) + 17

= -9 + 17

= 8 मीटर

वर्ग का क्षेत्रफल—

= (भुजा)²

= 8²

= 64 वर्ग मीटर

अतः खेत का क्षेत्रफल 64 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 8. समीकरण 12/5 = 2/5 + 2x/5 में x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया समीकरण—

12/5 = 2/5 + 2x/5

दोनों पक्षों में 5 से गुणा करने पर—

12 = 2 + 2x

12 - 2 = 2x

10 = 2x

x = 10/2

x = 5

अतः x = 5 है।

प्रश्न 9. 114, 380 और 133 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

अभाज्य गुणनखण्ड करने पर—

114 = 2 × 3 × 19

380 = 2² × 5 × 19

133 = 7 × 19

तीनों संख्याओं में उभयनिष्ठ सबसे बड़ा गुणनखण्ड 19 है।

अतः—

म.स. = 19

प्रश्न 10. निम्नांकित चित्र में यदि AC = BD तथा BC = AD हो, तो निम्नांकित कथनों में से कौन-सा सत्य है?

(1) ΔABC ≅ ΔABD

(2) ΔABC ≅ ΔBDA

(3) ΔABC ≅ ΔBAD

उत्तर: (3) ΔABC ≅ ΔBAD

दिया है—

AC = BD

BC = AD

और AB दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है।

अतः—

AB = BA

इस प्रकार—

AC = BD

CB = DA

AB = BA

अतः भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से—

ΔABC ≅ ΔBAD

प्रश्न 11. -(4 - 17) + (10 × 3) - 5 का सरलतम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

-(4 - 17) + (10 × 3) - 5

पहले कोष्ठक हल करने पर—

= -(-13) + 30 - 5

= 13 + 30 - 5

= 43 - 5

= 38

अतः सरलतम मान 38 है।

प्रश्न 12. एक भिन्न का हर उसके अंश से 1 अधिक है। अंश तथा हर दोनों में से 1 घटाने पर भिन्न का मान 1/2 हो जाता है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना भिन्न का अंश = x

तब हर = x + 1

अतः मूल भिन्न—

= x/(x + 1)

अंश और हर दोनों में से 1 घटाने पर—

(x - 1)/[(x + 1) - 1] = 1/2

(x - 1)/x = 1/2

क्रॉस गुणा करने पर—

2(x - 1) = x

2x - 2 = x

2x - x = 2

x = 2

अतः अंश = 2

हर—

= x + 1

= 2 + 1

= 3

अतः भिन्न 2/3 है।

प्रश्न 13. दो संख्याओं का अन्तर 14 है। बड़ी संख्या का आधा छोटी संख्या के दोगुने से दो कम है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना छोटी संख्या = x

तब बड़ी संख्या = x + 14

प्रश्नानुसार—

बड़ी संख्या का आधा = छोटी संख्या के दोगुने से 2 कम

अतः—

(x + 14)/2 = 2x - 2

दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर—

x + 14 = 4x - 4

14 + 4 = 4x - x

18 = 3x

x = 18/3

x = 6

अतः छोटी संख्या = 6

बड़ी संख्या—

= 6 + 14

= 20

अतः दोनों संख्याएँ 6 और 20 हैं।

प्रश्न 14. किसी परीक्षा में 22 परीक्षार्थियों के गणित विषय में प्राप्तांकों का विवरण निम्नवत् है—

67, 52, 54, 66, 88, 82, 67, 54, 50, 67, 50, 48, 55, 56, 67, 88, 67, 78, 83

उत्तर:

नोट: मूल प्रश्न में परीक्षार्थियों की संख्या 22 लिखी गई है, परन्तु प्रश्न में केवल 19 प्राप्तांक दिए गए हैं। इसलिए उपलब्ध 19 आँकड़ों के आधार पर सही बारम्बारता सारणी बनाई जा रही है। शेष 3 प्राप्तांक बिना स्रोत के जोड़े नहीं जा सकते।

दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

48, 50, 50, 52, 54, 54, 55, 56, 66, 67, 67, 67, 67, 67, 78, 82, 83, 88, 88

अब वर्ग-अन्तराल को निम्न प्रकार लेते हैं—

अतः उपलब्ध 19 प्राप्तांकों की बारम्बारता क्रमशः 6, 2, 6, 3 और 2 है।

प्रश्न 15. (8y + 3x)³ - (3x - 8y)³ को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

(8y + 3x)³ - (3x - 8y)³

हम जानते हैं—

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

यहाँ—

a = 8y + 3x

b = 3x - 8y

अतः—

a - b

= (8y + 3x) - (3x - 8y)

= 8y + 3x - 3x + 8y

= 16y

अब—

a² = (8y + 3x)²

= 64y² + 48xy + 9x²

b² = (3x - 8y)²

= 9x² - 48xy + 64y²

और—

ab = (8y + 3x)(3x - 8y)

= 24xy - 64y² + 9x² - 24xy

= 9x² - 64y²

अतः—

a² + ab + b²

= 64y² + 48xy + 9x² + 9x² - 64y² + 9x² - 48xy + 64y²

= 64y² + 27x²

अब—

(8y + 3x)³ - (3x - 8y)³

= 16y(64y² + 27x²)

= 1024y³ + 432x²y

अतः सरल रूप 1024y³ + 432x²y है।

प्रश्न 16. एक मैदान की लम्बाई 30 मीटर तथा चौड़ाई 15 मीटर है। यदि इस मैदान पर 5 सेमी वर्षा हुई हो, तो ज्ञात कीजिए कि इस मैदान पर कुल कितने लीटर पानी गिरा?

उत्तर:

दिया है—

मैदान की लम्बाई = 30 मीटर

मैदान की चौड़ाई = 15 मीटर

वर्षा की ऊँचाई = 5 सेमी

मीटर में बदलने पर—

5 सेमी = 5/100 मीटर

= 0.05 मीटर

मैदान पर गिरे पानी का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × वर्षा की ऊँचाई

= 30 × 15 × 0.05

= 450 × 0.05

= 22.5 घन मीटर

हम जानते हैं—

1 घन मीटर = 1000 लीटर

अतः—

22.5 घन मीटर = 22.5 × 1000 लीटर

= 22,500 लीटर

अतः मैदान पर कुल 22,500 लीटर पानी गिरा।

प्रश्न 17. एक घनाभ की लम्बाई 80 सेमी, चौड़ाई 40 सेमी तथा ऊँचाई 1 मीटर 20 सेमी है। घनाभ का आयतन घन मीटर में ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

लम्बाई = 80 सेमी

= 0.8 मीटर

चौड़ाई = 40 सेमी

= 0.4 मीटर

ऊँचाई = 1 मीटर 20 सेमी

= 1.2 मीटर

घनाभ का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 0.8 × 0.4 × 1.2

= 0.32 × 1.2

= 0.384 घन मीटर

अतः घनाभ का आयतन 0.384 घन मीटर है।

प्रश्न 18. (2x² + 8x³ + 11x - 12) - (-5x² + 2x + 13x³ - 2) - (-4 + 2x - 3x² - 5x³) को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

(2x² + 8x³ + 11x - 12)

- (-5x² + 2x + 13x³ - 2)

- (-4 + 2x - 3x² - 5x³)

ऋण चिह्न के कारण दोनों कोष्ठकों के सभी चिह्न बदलने पर—

= 2x² + 8x³ + 11x - 12

+ 5x² - 2x - 13x³ + 2

+ 4 - 2x + 3x² + 5x³

समान पदों को मिलाने पर—

= (8x³ - 13x³ + 5x³)

+ (2x² + 5x² + 3x²)

+ (11x - 2x - 2x)

+ (-12 + 2 + 4)

= 0 + 10x² + 7x - 6

= 10x² + 7x - 6

अतः सरल रूप 10x² + 7x - 6 है।