गणित Previous Year Paper 2025

प्रश्न 1. यदि किसी त्रिभुज में दो कोण असमान हों, तो छोटे कोण के सामने की भुजा होती है—

(a) बड़ी

(b) बराबर

(c) छोटी

(d) विपरीत

उत्तर: (c) छोटी

किसी त्रिभुज में बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा तथा छोटे कोण के सामने छोटी भुजा होती है।

अतः छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होगी।

प्रश्न 2. योग का तत्समक अवयव है—

(a) -1

(b) 1

(c) 0

(d) 0.4

उत्तर: (c) 0

योग का तत्समक वह संख्या है जिसे किसी संख्या में जोड़ने पर मूल संख्या का मान नहीं बदलता।

किसी भी संख्या a के लिए—

a + 0 = a

अतः योग का तत्समक अवयव 0 है।

प्रश्न 3. 5xy² में x का गुणांक बताइए—

(a) 5

(b) 5y²

(c) 5y

(d) 5x

उत्तर: (b) 5y²

दिया गया पद—

5xy²

= 5y² × x

अतः x के साथ गुणा होने वाला गुणांक 5y² है।

प्रश्न 4. किसी पूर्णांक का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए उसमें गुणा किया जाता है—

(a) शून्य से

(b) 1 से

(c) -1 से

(d) उसी पूर्णांक से

उत्तर: (c) -1 से

किसी संख्या a का योगात्मक प्रतिलोम -a होता है।

इसे प्राप्त करने के लिए—

a × (-1) = -a

अतः सही उत्तर -1 है।

प्रश्न 5. परिमेय संख्याओं 6/-5, -7/6 और -7/-6 में कौन बड़ी है?

(a) 6/-5

(b) -7/6

(c) -7/-6

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (c) -7/-6

दी गई संख्याएँ—

6/-5 = -6/5

-7/6 = -7/6

-7/-6 = 7/6

स्पष्ट है कि 7/6 धनात्मक संख्या है, जबकि अन्य दोनों ऋणात्मक हैं।

अतः सबसे बड़ी संख्या 7/6 अर्थात् -7/-6 है।

प्रश्न 6. 1 घन मीटर को घन सेमी में परिवर्तित कीजिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

1 मीटर = 100 सेमी

अतः—

1 घन मीटर

= (100 सेमी)³

= 100 × 100 × 100

= 10,00,000 घन सेमी

अतः 1 घन मीटर = 10,00,000 घन सेमी।

प्रश्न 7. 25 सेमी भुजा वाले वर्ग से 5 सेमी भुजा वाले कितने वर्ग काटे जा सकते हैं?

उत्तर:

बड़े वर्ग की भुजा = 25 सेमी

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल—

= 25 × 25

= 625 वर्ग सेमी

छोटे वर्ग की भुजा = 5 सेमी

छोटे वर्ग का क्षेत्रफल—

= 5 × 5

= 25 वर्ग सेमी

छोटे वर्गों की संख्या—

= 625/25

= 25

अतः कुल 25 वर्ग काटे जा सकते हैं।

प्रश्न 8. निम्नलिखित आँकड़ों में टैली चिह्न लगाकर संख्याओं की बारम्बारता ज्ञात कीजिए—

5, 6, 8, 13, 8, 5, 13, 8

उत्तर:

दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

5, 5, 6, 8, 8, 8, 13, 13

अतः 5, 6, 8 और 13 की बारम्बारताएँ क्रमशः 2, 1, 3 और 2 हैं।

प्रश्न 9. व्यंजक 5x² + 7xy + 8z + 3xy - 7x² - 2xy - 6z - 10 को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

5x² + 7xy + 8z + 3xy - 7x² - 2xy - 6z - 10

समान पदों को एक साथ रखने पर—

= (5x² - 7x²) + (7xy + 3xy - 2xy) + (8z - 6z) - 10

= -2x² + 8xy + 2z - 10

अतः सरल रूप -2x² + 8xy + 2z - 10 है।

प्रश्न 10. परिमेय संख्या की परिभाषा लिखिए।

उत्तर:

जिस संख्या को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों तथा q ≠ 0 हो, उसे परिमेय संख्या कहते हैं।

प्रश्न 11. a⁵b - ab⁵ के गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

a⁵b - ab⁵

दोनों पदों में ab उभयनिष्ठ है।

अतः—

= ab(a⁴ - b⁴)

= ab[(a²)² - (b²)²]

हम जानते हैं—

x² - y² = (x + y)(x - y)

अतः—

= ab(a² + b²)(a² - b²)

= ab(a² + b²)(a + b)(a - b)

अतः गुणनखण्ड ab(a² + b²)(a + b)(a - b) हैं।

प्रश्न 12. एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 18 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 18 सेमी

माना प्रत्येक भुजा = a सेमी

समबाहु त्रिभुज का परिमाप—

= 3a

अतः—

3a = 18

a = 6 सेमी

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= (√3/4)a²

= (√3/4) × 6²

= (√3/4) × 36

= 9√3 वर्ग सेमी

अतः समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 9√3 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 13. एक भिन्न का हर उसके अंश से 1 अधिक है। अंश तथा हर दोनों में से 1 घटाने पर भिन्न का मान 1/2 हो जाता है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना भिन्न का अंश = x

तब हर = x + 1

अतः मूल भिन्न—

= x/(x + 1)

अंश तथा हर दोनों में से 1 घटाने पर—

(x - 1)/[(x + 1) - 1] = 1/2

(x - 1)/x = 1/2

क्रॉस गुणा करने पर—

2(x - 1) = x

2x - 2 = x

x = 2

अतः अंश = 2

हर = 2 + 1 = 3

इसलिए भिन्न 2/3 है।

प्रश्न 14. यदि x + 1/x = 3 हो, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

x + 1/x = 3

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर—

(x + 1/x)² = 3²

हम जानते हैं—

(a + b)² = a² + 2ab + b²

अतः—

x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = 9

x² + 2 + 1/x² = 9

x² + 1/x² = 9 - 2

= 7

अतः मान 7 है।

प्रश्न 15. एक घनाभ की लम्बाई 80 सेमी, चौड़ाई 40 सेमी तथा ऊँचाई 1 मीटर 20 सेमी है। घनाभ का आयतन घन मीटर में ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

लम्बाई = 80 सेमी

= 0.8 मीटर

चौड़ाई = 40 सेमी

= 0.4 मीटर

ऊँचाई = 1 मीटर 20 सेमी

= 1.2 मीटर

घनाभ का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 0.8 × 0.4 × 1.2

= 0.32 × 1.2

= 0.384 घन मीटर

अतः घनाभ का आयतन 0.384 घन मीटर है।

प्रश्न 16. 4, 11, 16, 15, 12, 5, 7, 9, 10 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिए गए आँकड़े—

4, 11, 16, 15, 12, 5, 7, 9, 10

आरोही क्रम में—

4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 15, 16

कुल पदों की संख्या—

n = 9

चूँकि n विषम है, इसलिए माध्यिका—

= (n + 1)/2 वाँ पद

= (9 + 1)/2 वाँ पद

= 5वाँ पद

5वाँ पद = 10

अतः माध्यिका 10 है।

प्रश्न 17. यदि ΔABC और ΔPQR में AB = 3.5 सेमी, BC = 7.1 सेमी, AC = 5 सेमी, PQ = 7.1 सेमी, QR = 5 सेमी तथा PR = 3.5 सेमी हों, तो त्रिभुजों की सर्वांगसमता का परीक्षण कीजिए।

उत्तर:

ΔABC में—

AB = 3.5 सेमी

BC = 7.1 सेमी

AC = 5 सेमी

ΔPQR में—

PR = 3.5 सेमी

PQ = 7.1 सेमी

QR = 5 सेमी

संगत भुजाओं की तुलना करने पर—

AB = PR = 3.5 सेमी

BC = PQ = 7.1 सेमी

AC = RQ = 5 सेमी

इस प्रकार तीनों संगत भुजाएँ बराबर हैं।

अतः भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से—

ΔABC ≅ ΔRPQ

अतः दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

प्रश्न 18. एक 5 मीटर × 2 मीटर आयताकार पेंदे वाले हौज में 1.5 मीटर की ऊँचाई तक पानी भरा है। ज्ञात कीजिए कि हौज में कितने लीटर पानी भरा है?

उत्तर:

हौज की लम्बाई = 5 मीटर

चौड़ाई = 2 मीटर

पानी की ऊँचाई = 1.5 मीटर

पानी का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 5 × 2 × 1.5

= 15 घन मीटर

हम जानते हैं—

1 घन मीटर = 1000 लीटर

अतः—

15 घन मीटर

= 15 × 1000 लीटर

= 15,000 लीटर

अतः हौज में 15,000 लीटर पानी भरा है।