गणित Previous Year Paper 2017

प्रश्न 1. पूर्ण संख्याओं में योग का तत्समक होता है—

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 100

उत्तर: (a) 0

योग का तत्समक वह संख्या होती है जिसे किसी संख्या में जोड़ने पर मूल संख्या अपरिवर्तित रहती है।

जैसे—

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

2 + 0 = 2

अतः पूर्ण संख्याओं में योग का तत्समक 0 है।

प्रश्न 2. 56, 70 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य है—

(a) 210

(b) 420

(c) 840

(d) 1000

उत्तर: (c) 840

अभाज्य गुणनखण्ड करने पर—

56 = 2³ × 7

70 = 2 × 5 × 7

84 = 2² × 3 × 7

ल.स. में प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात ली जाती है।

अतः—

ल.स. = 2³ × 3 × 5 × 7

= 8 × 3 × 5 × 7

= 840

अतः 56, 70 और 84 का ल.स. 840 है।

प्रश्न 3. समीकरण 2.8x = 5.4 + x का हल है—

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

उत्तर: (c) 3

दिया गया समीकरण—

2.8x = 5.4 + x

x वाले पदों को एक ओर लाने पर—

2.8x - x = 5.4

1.8x = 5.4

x = 5.4/1.8

x = 3

अतः समीकरण का हल x = 3 है।

प्रश्न 4. यदि किसी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 400√3 वर्ग सेमी हो, तो उस त्रिभुज का परिमाप होगा—

(a) 90 सेमी

(b) 120 सेमी

(c) 150 सेमी

(d) 180 सेमी

उत्तर: (b) 120 सेमी

दिया है—

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 400√3 वर्ग सेमी

माना समबाहु त्रिभुज की भुजा = a सेमी

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= (√3/4)a²

अतः—

400√3 = (√3/4)a²

दोनों पक्षों को √3 से भाग देने पर—

400 = a²/4

a² = 1600

a = 40 सेमी

समबाहु त्रिभुज का परिमाप—

= 3 × भुजा

= 3 × 40

= 120 सेमी

अतः समबाहु त्रिभुज का परिमाप 120 सेमी है।

प्रश्न 5. x² - 2xy + 9y² और x² + 2xy - 8y² का योगफल होगा—

(a) 2x²

(b) 2x² + y²

(c) 2x² - y²

(d) x² + 2y²

उत्तर: (b) 2x² + y²

दिए गए व्यंजक—

x² - 2xy + 9y²

और

x² + 2xy - 8y²

दोनों को जोड़ने पर—

= x² - 2xy + 9y² + x² + 2xy - 8y²

= 2x² + (-2xy + 2xy) + (9y² - 8y²)

= 2x² + y²

अतः योगफल 2x² + y² है।

प्रश्न 6. x(y - z) + y(z - x) + z(x - y) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x(y - z) + y(z - x) + z(x - y)

कोष्ठक खोलने पर—

= xy - xz + yz - xy + zx - zy

समान पदों को मिलाने पर—

= xy - xy - xz + zx + yz - zy

= 0 + 0 + 0

= 0

अतः दिए गए व्यंजक का मान 0 है।

प्रश्न 7. एक रेलगाड़ी की चाल (x² + 3x + 2) किमी/घंटा है, तो वह (x + 2) घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?

उत्तर:

रेलगाड़ी की चाल = x² + 3x + 2 किमी/घंटा

समय = x + 2 घंटे

हम जानते हैं—

दूरी = चाल × समय

अतः—

दूरी = (x² + 3x + 2)(x + 2)

= x³ + 2x² + 3x² + 6x + 2x + 4

= x³ + 5x² + 8x + 4

अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी x³ + 5x² + 8x + 4 किमी होगी।

प्रश्न 8. यदि x + 1/x = 5 हो, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

x + 1/x = 5

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर—

(x + 1/x)² = 5²

हम जानते हैं—

(a + b)² = a² + 2ab + b²

अतः—

x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = 25

x² + 2 + 1/x² = 25

x² + 1/x² = 25 - 2

= 23

अतः मान 23 है।

प्रश्न 9. -9/11 के योगात्मक प्रतिलोम को ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

किसी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम वह संख्या है, जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर योग 0 प्राप्त हो।

माना -9/11 का योगात्मक प्रतिलोम = x

तब—

-9/11 + x = 0

x = 9/11

क्योंकि—

-9/11 + 9/11 = 0

अतः -9/11 का योगात्मक प्रतिलोम 9/11 है।

प्रश्न 10. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 सेमी² है तथा उसकी ऊँचाई 8 सेमी है। त्रिभुज के आधार की माप बताइए।

उत्तर:

दिया है—

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 48 वर्ग सेमी

ऊँचाई = 8 सेमी

माना आधार = b सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= 1/2 × आधार × ऊँचाई

अतः—

48 = 1/2 × b × 8

48 = 4b

b = 48/4

= 12 सेमी

अतः त्रिभुज के आधार की माप 12 सेमी है।

प्रश्न 11. (-5) - (-45) ÷ (-15) + (-3) × 5 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

(-5) - (-45) ÷ (-15) + (-3) × 5

BODMAS के अनुसार पहले भाग और गुणा करेंगे—

(-45) ÷ (-15) = 3

(-3) × 5 = -15

अतः—

= -5 - 3 - 15

= -8 - 15

= -23

अतः दिए गए व्यंजक का मान -23 है।

प्रश्न 12. वह छोटी-से-छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 7 घटाने पर वह 12, 16, 18 एवं 21 से विभाजित हो जाए।

उत्तर:

प्रश्न के अपेक्षित अर्थ में 7 घटाने पर प्राप्त धनात्मक संख्या 12, 16, 18 और 21 सभी से पूर्णतः विभाजित होनी चाहिए।

अतः हमें 12, 16, 18 और 21 का ल.स. ज्ञात करना होगा।

12 = 2² × 3

16 = 2⁴

18 = 2 × 3²

21 = 3 × 7

अतः—

ल.स. = 2⁴ × 3² × 7

= 16 × 9 × 7

= 1008

अब आवश्यक संख्या—

= 1008 + 7

= 1015

अतः छोटी-से-छोटी अपेक्षित संख्या 1015 है।

प्रश्न 13. एक आयताकार मैदान की लम्बाई 80 मीटर तथा चौड़ाई 60 मीटर है। इसके बीचों-बीच लम्बाई के समान्तर 5 मीटर तथा चौड़ाई के समान्तर 3 मीटर चौड़ी सड़क बनाने का ₹15 प्रति वर्ग मीटर की दर से खर्च क्या आएगा?

उत्तर:

दिया है—

मैदान की लम्बाई = 80 मीटर

मैदान की चौड़ाई = 60 मीटर

लम्बाई के समान्तर सड़क की चौड़ाई = 5 मीटर

चौड़ाई के समान्तर सड़क की चौड़ाई = 3 मीटर

निर्माण की दर = ₹15 प्रति वर्ग मीटर

लम्बाई के समान्तर सड़क का क्षेत्रफल—

= 80 × 5

= 400 वर्ग मीटर

चौड़ाई के समान्तर सड़क का क्षेत्रफल—

= 60 × 3

= 180 वर्ग मीटर

दोनों सड़कों के प्रतिच्छेदन का क्षेत्रफल दोनों में दो बार गिना गया है।

अतः प्रतिच्छेदन का क्षेत्रफल—

= 5 × 3

= 15 वर्ग मीटर

दोनों सड़कों का वास्तविक कुल क्षेत्रफल—

= 400 + 180 - 15

= 565 वर्ग मीटर

कुल खर्च—

= 565 × 15

= ₹8475

अतः सड़क बनाने का कुल खर्च ₹8475 आएगा।

प्रश्न 14. यदि ΔABC और ΔPQR में AB = 3.5 सेमी, BC = 7.1 सेमी, AC = 5 सेमी, PQ = 7.1 सेमी, QR = 5 सेमी और PR = 3.5 सेमी हो, तो दोनों त्रिभुजों की सर्वांगसमता का परीक्षण कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

ΔABC में—

AB = 3.5 सेमी

BC = 7.1 सेमी

AC = 5 सेमी

ΔPQR में—

PQ = 7.1 सेमी

QR = 5 सेमी

PR = 3.5 सेमी

अब संगत भुजाओं की तुलना करने पर—

AB = PR = 3.5 सेमी

BC = PQ = 7.1 सेमी

AC = RQ = 5 सेमी

अर्थात दोनों त्रिभुजों की तीनों संगत भुजाएँ बराबर हैं।

अतः भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से—

ΔABC ≅ ΔRPQ

अतः दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

प्रश्न 15. यदि x + 1/(2x) = 4 हो, तो x³ + 1/(8x³) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

x + 1/(2x) = 4

हम जानते हैं—

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

यहाँ—

a = x

b = 1/(2x)

अतः—

[x + 1/(2x)]³

= x³ + 1/(8x³) + 3 × x × 1/(2x) × [x + 1/(2x)]

दिए गए मान रखने पर—

4³ = x³ + 1/(8x³) + 3 × 1/2 × 4

64 = x³ + 1/(8x³) + 6

x³ + 1/(8x³) = 64 - 6

= 58

अतः मान 58 है।

प्रश्न 16. पिता की उम्र उसके पुत्र की उम्र की 4 गुनी है। 6 वर्ष बाद पिता की उम्र उसके पुत्र की उम्र के ढाई गुने से 6 वर्ष अधिक हो जाएगी। दोनों की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना पुत्र की वर्तमान आयु = x वर्ष

अतः पिता की वर्तमान आयु = 4x वर्ष

6 वर्ष बाद पुत्र की आयु—

= x + 6 वर्ष

6 वर्ष बाद पिता की आयु—

= 4x + 6 वर्ष

प्रश्नानुसार—

4x + 6 = (5/2)(x + 6) + 6

दोनों पक्षों से 6 घटाने पर—

4x = (5/2)(x + 6)

2 से गुणा करने पर—

8x = 5x + 30

8x - 5x = 30

3x = 30

x = 10

अतः पुत्र की वर्तमान आयु—

= 10 वर्ष

पिता की वर्तमान आयु—

= 4 × 10

= 40 वर्ष

अतः पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 40 वर्ष और 10 वर्ष है।

प्रश्न 17. यदि परिमेय संख्या का अंश उसके हर से 2 कम है। यदि उसके अंश और हर में 1 जोड़ दिया जाए, तो नई संख्या का मान 3/4 हो जाता है। संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना परिमेय संख्या = x/y

जहाँ—

x = अंश

y = हर

प्रश्नानुसार—

x = y - 2

अंश तथा हर दोनों में 1 जोड़ने पर—

(x + 1)/(y + 1) = 3/4

x = y - 2 रखने पर—

[(y - 2) + 1]/(y + 1) = 3/4

(y - 1)/(y + 1) = 3/4

क्रॉस गुणा करने पर—

4(y - 1) = 3(y + 1)

4y - 4 = 3y + 3

4y - 3y = 3 + 4

y = 7

अब—

x = y - 2

= 7 - 2

= 5

अतः परिमेय संख्या—

= x/y

= 5/7

अतः अपेक्षित परिमेय संख्या 5/7 है।

प्रश्न 18. 80 × [56 - {7 × 8 + (13 - 2 × 5)}] का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

80 × [56 - {7 × 8 + (13 - 2 × 5)}]

BODMAS के अनुसार सबसे पहले छोटे कोष्ठक को हल करेंगे—

13 - 2 × 5

= 13 - 10

= 3

अतः—

= 80 × [56 - {7 × 8 + 3}]

= 80 × [56 - {56 + 3}]

= 80 × [56 - 59]

= 80 × (-3)

= -240

अतः दिए गए व्यंजक का मान -240 है।