गणित Previous Year Paper 2023

प्रश्न 1. ऋण पूर्णांक संख्या है—

(a) -3/5

(b) -5

(c) 0

(d) -√7

उत्तर: (b) -5

पूर्णांक संख्याएँ होती हैं—

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

इनमें 0 से छोटी पूर्ण संख्याएँ ऋण पूर्णांक कहलाती हैं।

-5 एक ऋण पूर्णांक है।

जबकि -3/5 भिन्न है तथा -√7 अपरिमेय संख्या है।

अतः सही उत्तर -5 है।

प्रश्न 2. 9, 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य है—

(a) 45

(b) 36

(c) 9

(d) 27

उत्तर: (b) 36

अभाज्य गुणनखण्ड करने पर—

9 = 3²

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

ल.स. में प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात ली जाती है।

अतः—

ल.स. = 2² × 3²

= 4 × 9

= 36

प्रश्न 3. निम्नलिखित में से कौन परिमेय संख्या नहीं है?

(a) 22/12

(b) 0.78

(c) π

(d) 5/√36

उत्तर: (c) π

22/12 दो पूर्णांकों का अनुपात है, अतः यह परिमेय संख्या है।

0.78 = 78/100, इसलिए यह भी परिमेय संख्या है।

और—

5/√36 = 5/6

यह भी परिमेय संख्या है।

लेकिन π को p/q के रूप में ठीक-ठीक व्यक्त नहीं किया जा सकता।

अतः π अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 4. (9.5)² का मान है—

(a) 90.25

(b) 89.25

(c) 91.25

(d) 92.25

उत्तर: (a) 90.25

दिया है—

(9.5)²

= 9.5 × 9.5

= 90.25

अतः सही उत्तर 90.25 है।

प्रश्न 5. वर्ग 40–50 का मध्य बिन्दु (वर्ग-चिह्न) है—

(a) 40

(b) 45

(c) 50

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (b) 45

वर्ग-चिह्न का सूत्र—

= (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2

अतः—

= (40 + 50)/2

= 90/2

= 45

अतः वर्ग 40–50 का वर्ग-चिह्न 45 है।

प्रश्न 6. एक कक्ष की लम्बाई 10 मीटर, चौड़ाई 6 मीटर और ऊँचाई 5 मीटर है। कक्ष की चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

कक्ष की लम्बाई (l) = 10 मीटर

चौड़ाई (b) = 6 मीटर

ऊँचाई (h) = 5 मीटर

चारों दीवारों का क्षेत्रफल—

= 2(l + b) × h

= 2(10 + 6) × 5

= 2 × 16 × 5

= 160 वर्ग मीटर

अतः चारों दीवारों का क्षेत्रफल 160 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 7. दो संख्याओं का योग 15 है। उनमें से एक संख्या दूसरी की 4 गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना पहली संख्या = x

तब दूसरी संख्या = 4x

प्रश्नानुसार—

x + 4x = 15

5x = 15

x = 15/5

x = 3

अतः पहली संख्या = 3

दूसरी संख्या—

= 4 × 3

= 12

अतः दोनों संख्याएँ 3 और 12 हैं।

प्रश्न 8. 6 सेमी और 4 सेमी भुजा वाले दो घनों को पिघलाकर एक बड़ा घन बनाया गया। बड़े घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

पहले घन की भुजा = 6 सेमी

पहले घन का आयतन—

= 6³

= 216 घन सेमी

दूसरे घन की भुजा = 4 सेमी

दूसरे घन का आयतन—

= 4³

= 64 घन सेमी

दोनों घनों को पिघलाने पर कुल आयतन संरक्षित रहेगा।

अतः बड़े घन का आयतन—

= 216 + 64

= 280 घन सेमी

प्रश्न 9. (x + 1/a)(x - a) को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

(x + 1/a)(x - a)

गुणा करने पर—

= x(x - a) + (1/a)(x - a)

= x² - ax + x/a - 1

मध्य के पदों से x उभयनिष्ठ लेने पर—

= x² - x(a - 1/a) - 1

अतः सरल रूप—

x² - ax + x/a - 1

प्रश्न 10. 89 के अंकों को परस्पर बदलने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या से कितनी अधिक होगी?

उत्तर:

मूल संख्या = 89

अंकों को परस्पर बदलने पर प्राप्त संख्या = 98

अन्तर—

= 98 - 89

= 9

अतः प्राप्त संख्या मूल संख्या से 9 अधिक होगी।

प्रश्न 11. एक साइकिल के पहिये की त्रिज्या 21 सेमी है। 100 चक्कर लगाने में पहिया कितनी दूरी तय करेगा?

उत्तर:

पहिये की त्रिज्या = 21 सेमी

एक चक्कर में तय दूरी = वृत्त की परिधि

= 2πr

= 2 × 22/7 × 21

= 44 × 3

= 132 सेमी

100 चक्करों में दूरी—

= 132 × 100

= 13,200 सेमी

= 132 मीटर

अतः पहिया 100 चक्करों में 132 मीटर दूरी तय करेगा।

प्रश्न 12. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए 5 का वर्ग-अन्तराल लेकर संचयी बारम्बारता सारणी बनाइए—

4, 8, 11, 15, 16, 20, 28, 27, 26, 40, 32, 48

उत्तर:

दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

4, 8, 11, 15, 16, 20, 26, 27, 28, 32, 40, 48

अतः कुल बारम्बारता 12 है।

प्रश्न 13. एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल 0.75 हेक्टेयर है। यदि इस मैदान की एक भुजा 250 मीटर हो, तो दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

मैदान का क्षेत्रफल = 0.75 हेक्टेयर

1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर

अतः—

0.75 हेक्टेयर = 0.75 × 10,000

= 7500 वर्ग मीटर

एक भुजा = 250 मीटर

आयत का क्षेत्रफल—

= लम्बाई × चौड़ाई

अतः दूसरी भुजा—

= 7500/250

= 30 मीटर

अतः दूसरी भुजा 30 मीटर है।

प्रश्न 14. x × (y - z) = xy - xz सत्यापित कीजिए, जहाँ x = 2/3, y = 5/2 तथा z = -3/2 है।

उत्तर:

दिया है—

x = 2/3

y = 5/2

z = -3/2

बायाँ पक्ष—

x(y - z)

= 2/3 [5/2 - (-3/2)]

= 2/3 [5/2 + 3/2]

= 2/3 × 8/2

= 2/3 × 4

= 8/3

दायाँ पक्ष—

xy - xz

= (2/3 × 5/2) - (2/3 × -3/2)

= 5/3 - (-1)

= 5/3 + 1

= 5/3 + 3/3

= 8/3

अतः—

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

8/3 = 8/3

इसलिए x(y - z) = xy - xz सत्यापित है।

प्रश्न 15. एक फार्म हाउस में (x + 2y) पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में (x + 2y) पेड़ लगे हैं। ज्ञात कीजिए—

(1) फार्म हाउस में कुल कितने पेड़ हैं?

(2) यदि x = 3, y = 2 हो, तो फार्म हाउस में पेड़ों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

फार्म हाउस में पंक्तियों की संख्या—

= x + 2y

प्रत्येक पंक्ति में पेड़ों की संख्या—

= x + 2y

अतः कुल पेड़—

= (x + 2y)(x + 2y)

= (x + 2y)²

= x² + 4xy + 4y²

अतः कुल पेड़ों की संख्या—

x² + 4xy + 4y²

अब x = 3 और y = 2 रखने पर—

(x + 2y)²

= (3 + 2 × 2)²

= (3 + 4)²

= 7²

= 49

अतः फार्म हाउस में कुल 49 पेड़ होंगे।

प्रश्न 16. बिन्दुओं (0, 4), (0, -4) और (6, 0) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिए गए बिन्दु हैं—

A(0, 4), B(0, -4) और C(6, 0)

A और B दोनों y-अक्ष पर स्थित हैं।

अतः आधार AB की लम्बाई—

= 4 - (-4)

= 8 इकाई

बिन्दु C(6, 0) की y-अक्ष से लम्ब दूरी—

= 6 इकाई

अतः त्रिभुज की ऊँचाई = 6 इकाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= 1/2 × आधार × ऊँचाई

= 1/2 × 8 × 6

= 24 वर्ग इकाई

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 17. पार्श्व चित्र में ΔABC तथा ΔPQR समरूप हैं। यदि AB = 2 सेमी, BC = 3 सेमी, AC = 2.8 सेमी तथा QR = 1.5 सेमी हो, तो ΔPQR की शेष भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

ΔABC ~ ΔPQR

AB = 2 सेमी

BC = 3 सेमी

AC = 2.8 सेमी

QR = 1.5 सेमी

माना—

PQ = x सेमी तथा PR = y सेमी

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।

अतः—

AB/PQ = BC/QR

2/x = 3/1.5

2 × 1.5 = 3x

3 = 3x

x = 1

अतः—

PQ = 1 सेमी

अब—

AC/PR = BC/QR

2.8/y = 3/1.5

2.8 × 1.5 = 3y

4.2 = 3y

y = 1.4

अतः—

PR = 1.4 सेमी

इसलिए ΔPQR की शेष भुजाएँ PQ = 1 सेमी तथा PR = 1.4 सेमी हैं।

प्रश्न 18. एक घन की कोर की लम्बाई 12 सेमी है। उसका आयतन, विकर्ण की लम्बाई तथा सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

घन की भुजा (a) = 12 सेमी

1. घन का आयतन—

V = a³

= 12³

= 1728 घन सेमी

2. घन का विकर्ण—

d = a√3

= 12√3 सेमी

अतः विकर्ण = 12√3 सेमी

3. घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल—

= 6a²

= 6 × 12²

= 6 × 144

= 864 वर्ग सेमी

अतः घन का आयतन 1728 घन सेमी, विकर्ण 12√3 सेमी तथा सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 864 वर्ग सेमी है।