गणित Previous Year Paper 2016

प्रश्न 1. परिमेय संख्या -4/9 से छोटी परिमेय संख्या है—

(a) -1/9

(b) 0.2/9

(c) 4/9

(d) -7/9

उत्तर: (d) -7/9

तुलना करने पर—

-4/9 = -0.44...

-7/9 = -0.77...

ऋणात्मक संख्याओं में संख्या रेखा पर जो संख्या बाईं ओर होती है, वह छोटी होती है।

अतः—

-7/9 < -4/9

इसलिए सही उत्तर -7/9 है।

प्रश्न 2. 16, 32 और 64 का ल.स. है—

(a) 64

(b) 32

(c) 16

(d) 8

उत्तर: (a) 64

अभाज्य गुणनखण्ड करने पर—

16 = 2⁴

32 = 2⁵

64 = 2⁶

ल.स. में प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात ली जाती है।

अतः—

ल.स. = 2⁶

= 64

प्रश्न 3. समीकरण 1.5y - 7 = 0.5y का हल है—

(a) 3.5

(b) 7

(c) 5

(d) 2

उत्तर: (b) 7

दिया गया समीकरण—

1.5y - 7 = 0.5y

y वाले पदों को एक ओर लाने पर—

1.5y - 0.5y = 7

y = 7

अतः समीकरण का हल y = 7 है।

प्रश्न 4. y(z - x) + z(x - y) + x(y - z) का हल है—

(a) 1

(b) 2x

(c) 3z

(d) 0

उत्तर: (d) 0

दिया गया व्यंजक—

y(z - x) + z(x - y) + x(y - z)

कोष्ठक खोलने पर—

= yz - xy + zx - zy + xy - xz

समान पदों को मिलाने पर—

= yz - zy - xy + xy + zx - xz

= 0 + 0 + 0

= 0

प्रश्न 5. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 45 वर्ग सेमी और आधार 15 सेमी है। त्रिभुज की संगत ऊँचाई होगी—

(a) 3 सेमी

(b) 2 सेमी

(c) 6 सेमी

(d) 9 सेमी

उत्तर: (c) 6 सेमी

दिया है—

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 45 वर्ग सेमी

आधार = 15 सेमी

माना संगत ऊँचाई = h सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= 1/2 × आधार × ऊँचाई

अतः—

45 = 1/2 × 15 × h

h = (45 × 2)/15

= 90/15

= 6 सेमी

अतः त्रिभुज की संगत ऊँचाई 6 सेमी है।

प्रश्न 6. 83 के अंकों को परस्पर बदलने में प्राप्त संख्या को मूल संख्या से घटाने पर कौन-सी संख्या मिलती है?

उत्तर:

मूल संख्या = 83

83 के अंकों को परस्पर बदलने पर प्राप्त संख्या = 38

अतः—

83 - 38

= 45

अतः प्राप्त संख्या 45 है।

प्रश्न 7. समीकरण -4x + 3 = -6x - 18 को हल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया समीकरण—

-4x + 3 = -6x - 18

x वाले पदों को एक ओर तथा अचर पदों को दूसरी ओर लाने पर—

-4x + 6x = -18 - 3

2x = -21

x = -21/2

अतः—

x = -21/2

प्रश्न 8. एक कक्ष की लम्बाई 11 मी., चौड़ाई 8 मी. और ऊँचाई 5 मी. है। कक्ष की चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

लम्बाई (l) = 11 मीटर

चौड़ाई (b) = 8 मीटर

ऊँचाई (h) = 5 मीटर

कक्ष की चारों दीवारों का क्षेत्रफल—

= 2(l + b) × h

= 2(11 + 8) × 5

= 2 × 19 × 5

= 38 × 5

= 190 वर्ग मीटर

अतः कक्ष की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 190 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 9. x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए, जबकि x + 1/x = 2 है।

उत्तर:

दिया है—

x + 1/x = 2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर—

(x + 1/x)² = 2²

हम जानते हैं—

(a + b)² = a² + 2ab + b²

अतः—

x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = 4

x² + 2 + 1/x² = 4

x² + 1/x² = 4 - 2

= 2

अतः मान 2 है।

प्रश्न 10. परिमेय संख्याओं -7/9, -5/21 और -2/3 को आरोही क्रम में लिखिए।

उत्तर:

दिया है—

-7/9, -5/21 और -2/3

हर 9, 21 तथा 3 का ल.स. = 63

सभी भिन्नों के हर समान करने पर—

-7/9 = (-7 × 7)/(9 × 7) = -49/63

-5/21 = (-5 × 3)/(21 × 3) = -15/63

-2/3 = (-2 × 21)/(3 × 21) = -42/63

अब—

-49/63 < -42/63 < -15/63

अतः आरोही क्रम—

-7/9 < -2/3 < -5/21

प्रश्न 11. प्लेटो का जन्म 429 ईसा पूर्व में हुआ था तथा 348 ईसा पूर्व में दिवंगत हुए। वे कितने वर्षों तक जीवित रहे?

उत्तर:

प्लेटो का जन्म = 429 ईसा पूर्व

मृत्यु = 348 ईसा पूर्व

जीवनकाल—

= 429 - 348

= 81 वर्ष

अतः प्लेटो 81 वर्ष तक जीवित रहे।

प्रश्न 12. 112 - [121 ÷ (11 × 11) - (-4) - {3 - 8 - 1}] को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

112 - [121 ÷ (11 × 11) - (-4) - {3 - 8 - 1}]

रेखांकित भाग को पहले हल करने पर—

8 - 1 = 7

अतः—

= 112 - [121 ÷ (11 × 11) - (-4) - {3 - 7}]

= 112 - [121 ÷ 121 + 4 - (-4)]

= 112 - [1 + 4 + 4]

= 112 - 9

= 103

अतः दिए गए व्यंजक का मान 103 है।

प्रश्न 13. कॉपियों की वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 3, 6, 12 व 15 के बण्डलों में अलग-अलग किन्तु बराबर-बराबर बाँटी जा सके।

उत्तर:

कॉपियों की संख्या 3, 6, 12 और 15 प्रत्येक से पूर्णतः विभाजित होनी चाहिए।

अतः हमें 3, 6, 12 और 15 का ल.स. ज्ञात करना होगा।

3 = 3

6 = 2 × 3

12 = 2² × 3

15 = 3 × 5

ल.स.—

= 2² × 3 × 5

= 4 × 3 × 5

= 60

अतः कॉपियों की छोटी से छोटी संख्या 60 है।

प्रश्न 14. दो संख्याओं का योग 24 है। उनमें से एक संख्या दूसरी की दो गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना छोटी संख्या = x

तब दूसरी संख्या = 2x

प्रश्नानुसार—

x + 2x = 24

3x = 24

x = 24/3

x = 8

अतः पहली संख्या = 8

दूसरी संख्या—

= 2 × 8

= 16

अतः दोनों संख्याएँ 8 और 16 हैं।

प्रश्न 15. पार्श्वचित्र में ΔABC तथा ΔPQR समरूप हैं। ΔPQR की शेष भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

AB = 2 सेमी

AC = 2.8 सेमी

BC = 3 सेमी

QR = 1.5 सेमी

माना—

PQ = x सेमी तथा PR = y सेमी

चूँकि—

ΔABC ~ ΔPQR

अतः संगत भुजाएँ समान अनुपात में होंगी—

AB/BC = PQ/QR

2/3 = x/1.5

3x = 2 × 1.5

x = 3/3

x = 1 सेमी

इसी प्रकार—

AC/BC = PR/QR

2.8/3 = y/1.5

3y = 2.8 × 1.5

y = 4.2/3

y = 1.4 सेमी

अतः—

PQ = 1 सेमी तथा PR = 1.4 सेमी

प्रश्न 16. यदि x + y + z = 12 और x² + y² + z² = 64 हो, तो xy + yz + zx का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

x + y + z = 12

x² + y² + z² = 64

हम जानते हैं—

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx

मान रखने पर—

12² = 64 + 2xy + 2yz + 2zx

144 = 64 + 2(xy + yz + zx)

144 - 64 = 2(xy + yz + zx)

80 = 2(xy + yz + zx)

xy + yz + zx = 80/2

= 40

अतः xy + yz + zx = 40

प्रश्न 17. एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल 0.5 हेक्टेयर है। यदि इस मैदान की एक भुजा 125 मीटर हो, तो दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

आयताकार मैदान का क्षेत्रफल = 0.5 हेक्टेयर

1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर

अतः—

0.5 हेक्टेयर = 0.5 × 10,000

= 5000 वर्ग मीटर

एक भुजा = 125 मीटर

आयत का क्षेत्रफल—

= लम्बाई × चौड़ाई

अतः दूसरी भुजा—

= क्षेत्रफल/एक भुजा

= 5000/125

= 40 मीटर

अतः मैदान की दूसरी भुजा 40 मीटर है।

प्रश्न 18. एक न्याय पंचायत में (2x + 3) ग्राम सभाएँ हैं। प्रत्येक ग्राम सभा में x² + 5x + 6 नलकूप हैं। न्याय पंचायत में कुल कितने नलकूप हैं? यदि x = 1 हो, तो नलकूपों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

कुल ग्राम सभाएँ = 2x + 3

प्रत्येक ग्राम सभा में नलकूपों की संख्या = x² + 5x + 6

अतः कुल नलकूपों की संख्या—

= (2x + 3)(x² + 5x + 6)

कोष्ठक खोलने पर—

= 2x(x² + 5x + 6) + 3(x² + 5x + 6)

= 2x³ + 10x² + 12x + 3x² + 15x + 18

= 2x³ + 13x² + 27x + 18

अब x = 1 रखने पर—

= 2(1)³ + 13(1)² + 27(1) + 18

= 2 + 13 + 27 + 18

= 60

अतः कुल नलकूपों की संख्या 60 होगी।