गणित Previous Year Paper 2024

प्रश्न 1. 343/216 के घन रूप का आधार है—

(A) 5/4

(B) 4/4

(C) 7/6

(D) 7/5

उत्तर: (C) 7/6

दिया है—

343/216

= (7 × 7 × 7)/(6 × 6 × 6)

= 7³/6³

= (7/6)³

अतः घन रूप का आधार = 7/6

प्रश्न 2. x^-7 ÷ x^-9 का मान होगा—

(A) x²

(B) x^-2

(C) x¹⁶

(D) x^-16

उत्तर: (A) x²

दिया गया व्यंजक—

x^-7 ÷ x^-9

हम जानते हैं—

x^m ÷ xⁿ = x^m-n

अतः—

= x^-7-(-9)

= x^-7+9

= x²

अतः मान x² है, जहाँ x ≠ 0।

प्रश्न 3. किसी वृत्त का व्यास 6 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या होगी—

(A) 3 सेमी

(B) 12 सेमी

(C) 9 सेमी

(D) 18 सेमी

उत्तर: (A) 3 सेमी

दिया है—

व्यास (d) = 6 सेमी

हम जानते हैं—

व्यास = 2 × त्रिज्या

अतः त्रिज्या—

r = d/2

= 6/2

= 3 सेमी

प्रश्न 4. घड़ी की मिनट की सुई 12 पर तथा घंटे की सुई 2 पर है। दोनों सुइयों के बीच का कोण होगा—

(A) 10°

(B) 20°

(C) 30°

(D) 60°

उत्तर: (D) 60°

घड़ी का पूरा वृत्त = 360°

घड़ी में कुल 12 बराबर भाग होते हैं।

अतः दो क्रमागत अंकों के बीच का कोण—

= 360°/12

= 30°

12 से 2 तक कुल 2 भाग हैं।

अतः दोनों सुइयों के बीच का कोण—

= 2 × 30°

= 60°

प्रश्न 5. 6 और 54 का मध्यानुपाती है—

(A) 9

(B) 18

(C) 30

(D) 24

उत्तर: (B) 18

माना 6 और 54 का मध्यानुपाती = x

तब—

6 : x :: x : 54

अर्थात्—

x² = 6 × 54

x² = 324

x = √324

x = 18

अतः मध्यानुपाती 18 है।

प्रश्न 6. एक कमरे के फर्श का क्षेत्रफल 12 वर्ग मीटर है। यदि उसकी ऊँचाई 4 मीटर हो, तो कमरे का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

फर्श का क्षेत्रफल = 12 वर्ग मीटर

कमरे की ऊँचाई = 4 मीटर

कमरे का आयतन—

= फर्श का क्षेत्रफल × ऊँचाई

= 12 × 4

= 48 घन मीटर

अतः कमरे का आयतन 48 घन मीटर है।

प्रश्न 7. 12y² - y - 1 का गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

12y² - y - 1

मध्य पद -y को -4y + 3y के रूप में लिखने पर—

= 12y² - 4y + 3y - 1

समूह बनाने पर—

= 4y(3y - 1) + 1(3y - 1)

समान गुणनखण्ड (3y - 1) बाहर लेने पर—

= (3y - 1)(4y + 1)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(3y - 1)(4y + 1)

प्रश्न 8. log_a2^(x+3) = log_a64 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

64 = 2⁶

अतः—

log_a2^(x+3) = log_a2⁶

समान आधार वाले लघुगणकों के बराबर होने पर उनके arguments बराबर होंगे।

अतः—

2^(x+3) = 2⁶

x + 3 = 6

x = 6 - 3

x = 3

अतः x = 3, जहाँ a > 0 तथा a ≠ 1।

प्रश्न 9. यदि समुच्चय A = {2, 3, 4, 5} और B = {4, 5, 6, 8} हो, तो A ∩ B ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

A = {2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 8}

A ∩ B में वे अवयव लिए जाते हैं जो A तथा B दोनों समुच्चयों में उपस्थित हों।

A तथा B के उभयनिष्ठ अवयव = 4, 5

अतः—

A ∩ B = {4, 5}

प्रश्न 10. संख्या 2 से 20 तक विषम संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

2 से 20 तक विषम संख्याएँ हैं—

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

कुल पदों की संख्या = 9

इनका योग—

= 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

= 99

समान्तर माध्य—

= सभी पदों का योग / कुल पदों की संख्या

= 99/9

= 11

अतः समान्तर माध्य 11 है।

प्रश्न 11. ₹70,000 का 12% वार्षिक ब्याज की दर से 5 वर्ष का साधारण ब्याज कितना होगा?

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹70,000

दर (R) = 12% वार्षिक

समय (T) = 5 वर्ष

साधारण ब्याज का सूत्र—

SI = (P × R × T)/100

मान रखने पर—

SI = (70000 × 12 × 5)/100

= 700 × 12 × 5

= 700 × 60

= ₹42,000

अतः 5 वर्ष का साधारण ब्याज ₹42,000 है।

प्रश्न 12. {(4 × 5)^-2 + (1/10)²} + 3/4 को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

{(4 × 5)^-2 + (1/10)²} + 3/4

= {20^-2 + 1/100} + 3/4

ऋणात्मक घात के नियम से—

20^-2 = 1/20²

= 1/400

अतः—

= {1/400 + 1/100} + 3/4

= 1/400 + 4/400 + 3/4

= 5/400 + 3/4

= 5/400 + 300/400

= 305/400

= 61/80

अतः दिए गए व्यंजक का मान 61/80 है।

प्रश्न 13. 10, 12, 8, 9, 11, 19, 13, 10, 20, 22 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिए गए आँकड़े—

10, 12, 8, 9, 11, 19, 13, 10, 20, 22

आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22

कुल पदों की संख्या—

n = 10

चूँकि पदों की संख्या सम है, इसलिए माध्यिका—

= 1/2 × (5वाँ पद + 6वाँ पद)

= 1/2 × (11 + 12)

= 1/2 × 23

= 23/2

= 11.5

अतः दिए गए आँकड़ों की माध्यिका 11.5 है।

प्रश्न 14. वह छोटी-से-छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 6075 में गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।

उत्तर:

6075 का अभाज्य गुणनखण्ड करते हैं—

6075 = 5 × 1215

= 5 × 5 × 243

= 5² × 243

= 5² × 3⁵

अतः—

6075 = 3⁵ × 5²

किसी पूर्ण वर्ग संख्या के अभाज्य गुणनखण्डों में प्रत्येक अभाज्य संख्या की घात सम होनी चाहिए।

यहाँ 5 की घात 2 सम है, लेकिन 3 की घात 5 विषम है।

3 की घात को सम बनाने के लिए 6075 को 3 से गुणा करना होगा।

अतः—

6075 × 3

= 3⁵ × 5² × 3

= 3⁶ × 5²

= (3³ × 5)²

= (27 × 5)²

= 135²

अतः अभीष्ट छोटी-से-छोटी संख्या = 3

प्रश्न 15. यदि x - 1/x = 3/2 हो, तो x³ - 1/x³ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

x - 1/x = 3/2

हम जानते हैं—

(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

यहाँ—

a = x

b = 1/x

अतः—

ab = x × 1/x

= 1

इसलिए—

(x - 1/x)³

= x³ - 1/x³ - 3(x)(1/x)(x - 1/x)

= x³ - 1/x³ - 3(x - 1/x)

अब x - 1/x = 3/2 रखने पर—

(3/2)³

= x³ - 1/x³ - 3(3/2)

27/8 = x³ - 1/x³ - 9/2

अतः—

x³ - 1/x³

= 27/8 + 9/2

= 27/8 + 36/8

= 63/8

अतः x³ - 1/x³ = 63/8।

प्रश्न 16. ₹7050 को 1/5 : 1/4 : 1/3 के अनुपात में बाँटिए।

उत्तर:

दिया गया अनुपात—

= 1/5 : 1/4 : 1/3

हरों 5, 4 और 3 का ल.स. = 60

अतः सभी अनुपातों को 60 से गुणा करने पर—

= (1/5 × 60) : (1/4 × 60) : (1/3 × 60)

= 12 : 15 : 20

अनुपाती पदों का योग—

= 12 + 15 + 20

= 47

कुल राशि = ₹7050

अतः एक अनुपाती भाग का मूल्य—

= 7050/47

= ₹150

पहला भाग—

= 12 × 150

= ₹1800

दूसरा भाग—

= 15 × 150

= ₹2250

तीसरा भाग—

= 20 × 150

= ₹3000

जाँच—

1800 + 2250 + 3000 = 7050

अतः ₹7050 के तीन भाग क्रमशः ₹1800, ₹2250 और ₹3000 हैं।

प्रश्न 17. लोहे के घनाभ के आकार के टुकड़े की लम्बाई 75 सेमी, चौड़ाई 15 सेमी तथा ऊँचाई 5 सेमी है। इसमें 15 सेमी लम्बे, 3 सेमी चौड़े तथा 1 सेमी ऊँचे कितने गुटके बनाए जा सकते हैं?

उत्तर:

दिया है—

बड़े घनाभ की लम्बाई = 75 सेमी

चौड़ाई = 15 सेमी

ऊँचाई = 5 सेमी

बड़े घनाभ का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 75 × 15 × 5

= 5625 सेमी³

एक छोटे गुटके की लम्बाई = 15 सेमी

चौड़ाई = 3 सेमी

ऊँचाई = 1 सेमी

एक छोटे गुटके का आयतन—

= 15 × 3 × 1

= 45 सेमी³

अतः आयतन के आधार पर गुटकों की संख्या—

= 5625/45

= 125

यहाँ छोटे गुटकों का बड़े घनाभ में ठीक-ठीक बैठना भी जाँचते हैं—

लम्बाई की दिशा में गुटकों की संख्या—

= 75/15

= 5

चौड़ाई की दिशा में—

= 15/3

= 5

ऊँचाई की दिशा में—

= 5/1

= 5

अतः कुल गुटके—

= 5 × 5 × 5

= 125

अतः कुल 125 गुटके बनाए जा सकते हैं।

प्रश्न 18. x² + 7x + 14 में x + 3 से भाग देकर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

             x + 4
          __________
x + 3 ) x² + 7x + 14
          x² + 3x
          ----------
               4x + 14
               4x + 12
               --------
                      2

अतः—

भागफल = x + 4

शेषफल = 2

जाँच—

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

x² + 7x + 14

= (x + 3)(x + 4) + 2

= x² + 7x + 12 + 2

= x² + 7x + 14