गणित Previous Year Paper 2022

प्रश्न 1. log₃81 = 4 का घातांकीय रूप होगा—

(A) 4³ = 81

(B) 3⁴ = 81

(C) 81⁴

(D) 3⁸¹ = 4

उत्तर: (B) 3⁴ = 81

हम जानते हैं—

यदि log_ab = n, तो—

aⁿ = b

दिया है—

log₃81 = 4

अतः इसका घातांकीय रूप—

3⁴ = 81

प्रश्न 2. साधारण ब्याज की दर से कोई धन 5 वर्ष में दुगुना हो जाता है। कितने वर्ष में वह धन तीन गुना हो जाएगा?

(A) 5 वर्ष

(B) 10 वर्ष

(C) 15 वर्ष

(D) 20 वर्ष

उत्तर: (B) 10 वर्ष

माना मूलधन = P

5 वर्ष में धन दुगुना हो जाता है।

अर्थात् 5 वर्ष बाद मिश्रधन = 2P

इसलिए 5 वर्ष का साधारण ब्याज—

= 2P - P

= P

धन को तीन गुना होने के लिए मिश्रधन = 3P होना चाहिए।

अतः आवश्यक साधारण ब्याज—

= 3P - P

= 2P

साधारण ब्याज समान दर एवं मूलधन पर समय के समानुपाती होता है।

जब P ब्याज के लिए समय = 5 वर्ष है,

तो 2P ब्याज के लिए समय—

= 2 × 5

= 10 वर्ष

प्रश्न 3. व्यंजक p²x² + c²x² - ac² - ap² का गुणनखण्ड है—

(A) (p² + c²)(x² - a)

(B) (p² - c²)(x² - a)

(C) (p² + c²)(x² + a)

(D) (p² - c²)(x² + a)

उत्तर: (A) (p² + c²)(x² - a)

दिया गया व्यंजक—

p²x² + c²x² - ac² - ap²

समूह बनाने पर—

= x²(p² + c²) - a(c² + p²)

= x²(p² + c²) - a(p² + c²)

समान गुणनखण्ड (p² + c²) बाहर लेने पर—

= (p² + c²)(x² - a)

प्रश्न 4. यदि A = {x : x सम संख्या और x < 9} तथा B = {7, 3, 4, 8} हो, तो B - A है—

(A) {2, 4}

(B) {3, 4}

(C) {7, 3}

(D) {7, 8}

उत्तर: (C) {7, 3}

B = {7, 3, 4, 8}

A में 9 से छोटी सम संख्याएँ सम्मिलित हैं।

B के अवयवों में 4 तथा 8 सम संख्याएँ हैं और 9 से छोटी हैं, अतः वे A में भी हैं।

परन्तु 7 तथा 3 विषम संख्याएँ हैं, इसलिए वे A में नहीं हैं।

B - A में B के वे अवयव आते हैं जो A में नहीं हैं।

अतः—

B - A = {7, 3}

प्रश्न 5. क्रमशः 5 सेमी एवं 3 सेमी त्रिज्या के दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी 10 सेमी है। उनमें कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 3

उत्तर: (C) 4

पहले वृत्त की त्रिज्या = 5 सेमी

दूसरे वृत्त की त्रिज्या = 3 सेमी

दोनों त्रिज्याओं का योग—

= 5 + 3

= 8 सेमी

केन्द्रों के बीच की दूरी = 10 सेमी

चूँकि—

10 > 8

अर्थात् केन्द्रों के बीच की दूरी दोनों त्रिज्याओं के योग से अधिक है।

इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे से बाह्य रूप से पृथक हैं।

ऐसे दो वृत्तों पर कुल 4 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

प्रश्न 6. बैंक में किस प्रकार के खाते में जमा धनराशि पर ब्याज नहीं मिलता है?

उत्तर: बैंक के चालू खाते (Current Account) में जमा धनराशि पर सामान्यतः ब्याज नहीं मिलता है। इसका उपयोग मुख्यतः अधिक एवं नियमित लेन-देन के लिए किया जाता है।

प्रश्न 7. एक छात्रावास में 300 छात्रों के लिए 15 दिनों की राशन सामग्री उपलब्ध है। यदि अवकाश के कारण 200 छात्र घर चले गए हों, तो वह सामग्री कितने दिन चलेगी?

उत्तर:

कुल छात्रों की संख्या = 300

300 छात्रों के लिए राशन = 15 दिन

घर चले गए छात्रों की संख्या = 200

शेष छात्रों की संख्या—

= 300 - 200

= 100

राशन की मात्रा निश्चित है, इसलिए छात्रों की संख्या और दिनों की संख्या व्युत्क्रमानुपाती होंगी।

अतः—

300 × 15 = 100 × d

4500 = 100d

d = 4500/100

d = 45 दिन

अतः राशन सामग्री 45 दिन चलेगी।

प्रश्न 8. x² + 7x + 14 में x + 3 से भाग देकर भागफल व शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

             x + 4
          __________
x + 3 ) x² + 7x + 14
          x² + 3x
          ----------
               4x + 14
               4x + 12
               --------
                      2

अतः—

भागफल = x + 4

शेषफल = 2

प्रश्न 9. ₹10,000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज तथा साधारण ब्याज का अन्तर ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹10,000

दर (R) = 10% वार्षिक

समय = 2 वर्ष

2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अन्तर—

= P(R/100)²

मान रखने पर—

= 10000 × (10/100)²

= 10000 × (1/10)²

= 10000 × 1/100

= ₹100

अतः चक्रवृद्धि ब्याज तथा साधारण ब्याज का अन्तर ₹100 है।

प्रश्न 10. व्यंजक x² - (a - 1/a)x - 1 का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x² - (a - 1/a)x - 1

कोष्ठक खोलने पर—

= x² - ax + x/a - 1

समूह बनाने पर—

= x(x - a) + (1/a)(x - a)

समान गुणनखण्ड (x - a) बाहर लेने पर—

= (x - a)(x + 1/a)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(x - a)(x + 1/a), जहाँ a ≠ 0।

प्रश्न 11. चित्र में AB वृत्त को P बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा है तथा ∠QPR = 80° और ∠PRQ = 30° है। ∠RPB का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

∠QPR = 80°

∠PRQ = 30°

ΔPQR में तीनों कोणों का योग 180° होता है।

अतः—

∠QPR + ∠PRQ + ∠PQR = 180°

80° + 30° + ∠PQR = 180°

110° + ∠PQR = 180°

∠PQR = 180° - 110°

∠PQR = 70°

स्पर्श रेखा एवं जीवा के बीच बना कोण, वैकल्पिक वृत्तखण्ड में उसी जीवा द्वारा बने कोण के बराबर होता है।

अतः—

∠RPB = ∠PQR

= 70°

अतः ∠RPB = 70°।

प्रश्न 12. दो घन जिनमें प्रत्येक का आयतन 1728 सेमी³ है, उनके सिरों को परस्पर जोड़ा जाता है। नए बने घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

एक घन का आयतन = 1728 सेमी³

माना घन की भुजा = a सेमी

घन का आयतन—

= a³

अतः—

a³ = 1728

a = ∛1728

a = 12 सेमी

दोनों घनों को एक-एक फलक से जोड़ने पर प्राप्त घनाभ की—

लम्बाई = 12 + 12

= 24 सेमी

चौड़ाई = 12 सेमी

ऊँचाई = 12 सेमी

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल—

= 2(lb + bh + hl)

= 2(24 × 12 + 12 × 12 + 12 × 24)

= 2(288 + 144 + 288)

= 2 × 720

= 1440 सेमी²

अतः नए बने घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1440 सेमी² है।

प्रश्न 13. नीचे दी गई सारणी में आँकड़ों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

यहाँ—

Σf = 25

Σfx = 256

समान्तर माध्य का सूत्र—

समान्तर माध्य = Σfx/Σf

= 256/25

= 10.24

अतः दिए गए आँकड़ों का समान्तर माध्य 10.24 है।

प्रश्न 14. 3 सेमी त्रिज्या के किसी वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी दूर स्थित बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।

उत्तर:

रचना के चरण—

1. O को केन्द्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
2. केन्द्र O से 6 सेमी दूर एक बाह्य बिन्दु P लीजिए तथा OP को मिलाइए।
3. रेखाखण्ड OP का मध्यबिन्दु M ज्ञात कीजिए।
4. M को केन्द्र तथा MO (= MP) त्रिज्या लेकर एक सहायक वृत्त खींचिए।
5. यह सहायक वृत्त दिए गए वृत्त को T₁ तथा T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
6. P को T₁ तथा T₂ से मिलाइए।
7. PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

चूँकि ∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90° हैं, इसलिए PT₁ और PT₂ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 15. यदि समुच्चय A में x² - 5x + 6 के गुणनखण्ड हों तथा B = {(x + 2), (x - 3)} हो, तो A ∩ B तथा A ∪ B ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x² - 5x + 6

मध्य पद को विभाजित करने पर—

= x² - 3x - 2x + 6

समूह बनाने पर—

= x(x - 3) - 2(x - 3)

= (x - 3)(x - 2)

अतः—

A = {(x - 3), (x - 2)}

तथा—

B = {(x + 2), (x - 3)}

A ∩ B में दोनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ अवयव लिया जाएगा।

दोनों में उभयनिष्ठ अवयव = (x - 3)

अतः—

A ∩ B = {(x - 3)}

A ∪ B में दोनों समुच्चयों के सभी भिन्न अवयव लिए जाएँगे।

अतः—

A ∪ B = {(x - 3), (x - 2), (x + 2)}

प्रश्न 16. [{(-3/2)²}]^-3 को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

[{(-3/2)²}]^-3

पहले कोष्ठक के अन्दर घात लगाने पर—

= (9/4)^-3

ऋणात्मक घात के नियम से—

a^-n = 1/aⁿ

अतः—

= (4/9)³

= 4³/9³

= 64/729

अतः दिए गए व्यंजक का मान 64/729 है।

प्रश्न 17. एक शहर की जनसंख्या 10,00,000 से बढ़कर तीन वर्ष में 11,57,625 हो जाती है। वार्षिक वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

प्रारम्भिक जनसंख्या (P) = 10,00,000

3 वर्ष बाद जनसंख्या (A) = 11,57,625

समय (n) = 3 वर्ष

माना वार्षिक वृद्धि दर = R%

चक्रवृद्धि वृद्धि का सूत्र—

A = P(1 + R/100)ⁿ

मान रखने पर—

11,57,625 = 10,00,000(1 + R/100)³

दोनों पक्षों को 10,00,000 से भाग देने पर—

(1 + R/100)³

= 11,57,625/10,00,000

= 9261/8000

= (21/20)³

अतः—

1 + R/100 = 21/20

R/100 = 21/20 - 1

= 21/20 - 20/20

= 1/20

R = 100/20

R = 5%

अतः शहर की वार्षिक जनसंख्या वृद्धि दर 5% है।

प्रश्न 18. एक दीवार की लम्बाई 5 मीटर, ऊँचाई 3.5 मीटर तथा मोटाई 33 सेमी है। एक ईंट की लम्बाई, चौड़ाई व मोटाई क्रमशः 25 सेमी, 10 सेमी तथा 7.7 सेमी है। इस दीवार को बनाने में कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?

उत्तर:

दिया है—

दीवार की लम्बाई = 5 मीटर

= 5 × 100

= 500 सेमी

दीवार की ऊँचाई = 3.5 मीटर

= 3.5 × 100

= 350 सेमी

दीवार की मोटाई = 33 सेमी

दीवार का आयतन—

= लम्बाई × ऊँचाई × मोटाई

= 500 × 350 × 33

= 57,75,000 सेमी³

अब एक ईंट की—

लम्बाई = 25 सेमी

चौड़ाई = 10 सेमी

मोटाई = 7.7 सेमी

एक ईंट का आयतन—

= 25 × 10 × 7.7

= 250 × 7.7

= 1925 सेमी³

अतः आवश्यक ईंटों की संख्या—

= दीवार का आयतन / एक ईंट का आयतन

= 57,75,000/1925

= 3000

अतः दीवार बनाने में 3000 ईंटों की आवश्यकता होगी।