गणित Previous Year Paper 2016

प्रश्न 1. 30, 120, 90, 300 समानुपात में नहीं हैं क्योंकि—

(A) यहाँ कोई मध्यपद नहीं है।

(B) बाह्य पदों का गुणनफल = मध्यपदों का गुणनफल नहीं है।

(C) बाह्य पदों का गुणनफल = मध्यपदों का गुणनफल है।

(D) बाह्य पदों का गुणनफल 9000 है।

उत्तर: (B) बाह्य पदों का गुणनफल = मध्यपदों का गुणनफल नहीं है।

यदि चार राशियाँ a, b, c, d समानुपात में हों, तो—

a × d = b × c

यहाँ,

30 × 300 = 9000

120 × 90 = 10800

चूँकि 9000 ≠ 10800, अतः 30, 120, 90, 300 समानुपात में नहीं हैं।

प्रश्न 2. चित्र में O वृत्त का केन्द्र है और ∠AOB = 80° है। ∠ADB की माप होगी—

(A) 40°

(B) 80°

(C) 100°

(D) 140°

उत्तर: (D) 140°

दिया है—

∠AOB = 80°

अतः लघु चाप AB का अंश माप = 80°

बिन्दु D लघु चाप AB पर स्थित है। इसलिए ∠ADB द्वारा अवरोधित चाप AB, दीर्घ चाप होगा।

दीर्घ चाप AB का अंश माप—

= 360° - 80°

= 280°

वृत्त की परिधि पर बना कोण अपने द्वारा अवरोधित चाप के अंश माप का आधा होता है।

अतः—

∠ADB = 1/2 × 280°

= 140°

प्रश्न 3. चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। निम्नलिखित में सत्य है—

(A) रेखा PQ वृत्त का व्यास है।

(B) रेखा CD वृत्त की छेदिका है।

(C) रेखाखण्ड OR वृत्त की जीवा है।

(D) ASBA त्रिज्यखण्ड है।

उत्तर: (B) रेखा CD वृत्त की छेदिका है।

जो रेखा किसी वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर काटती है, उसे वृत्त की छेदिका कहते हैं।

चित्र में रेखा CD वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर काटती है। अतः रेखा CD वृत्त की छेदिका है।

प्रश्न 4. ₹2000 का 5% वार्षिक सरल ब्याज की दर से 2 वर्ष का ब्याज होगा—

(A) ₹400

(B) ₹300

(C) ₹200

(D) ₹100

उत्तर: (C) ₹200

दिया है—

मूलधन (P) = ₹2000

ब्याज की दर (R) = 5% वार्षिक

समय (T) = 2 वर्ष

सरल ब्याज का सूत्र—

सरल ब्याज = (P × R × T)/100

= (2000 × 5 × 2)/100

= 20000/100

= ₹200

अतः 2 वर्ष का सरल ब्याज ₹200 होगा।

प्रश्न 5. 5⁶ = 15625 का लघुगणकीय रूप है—

(A) log₅ 15625 = 6

(B) log₆ 15625 = 5

(C) log₅ 5 = 15625

(D) log₅ 6 = 15625

उत्तर: (A) log₅ 15625 = 6

हम जानते हैं—

यदि a^x = y, तो इसका लघुगणकीय रूप—

log_a y = x

यहाँ—

5⁶ = 15625

अतः इसका लघुगणकीय रूप—

log₅ 15625 = 6

प्रश्न 6. किसी कक्षा की 8 बालिकाओं की ऊँचाई सेंटीमीटर में क्रमशः 140, 142, 135, 133, 137, 150, 148 तथा 138 है। आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिए गए आँकड़े—

140, 142, 135, 133, 137, 150, 148, 138

आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

133, 135, 137, 138, 140, 142, 148, 150

कुल पदों की संख्या—

n = 8

चूँकि पदों की संख्या सम है, इसलिए माध्यिका—

माध्यिका = 1/2 × (4वें पद + 5वें पद)

= 1/2 × (138 + 140)

= 1/2 × 278

= 139 सेमी

अतः आँकड़ों की माध्यिका 139 सेमी है।

प्रश्न 7. 3⁴ × 3⁵ × 3^-9 × 3² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

3⁴ × 3⁵ × 3^-9 × 3²

समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़ दिए जाते हैं।

अतः—

= 3^{4 + 5 - 9 + 2}

= 3²

= 3 × 3

= 9

अतः दिए गए व्यंजक का मान 9 है।

प्रश्न 8. 4/x² - y²/9 का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

4/x² - y²/9

इसे पूर्ण वर्गों के अन्तर के रूप में लिखने पर—

= (2/x)² - (y/3)²

हम जानते हैं—

a² - b² = (a + b)(a - b)

अतः—

= (2/x + y/3)(2/x - y/3)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(2/x + y/3)(2/x - y/3)

प्रश्न 9. 3.5 सेंटीमीटर त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। उस वृत्त पर एक बिन्दु P लीजिए। बिन्दु P से वृत्त की स्पर्श रेखा खींचिए। रचना मत लिखिए।

उत्तर:

प्रश्न 10. यदि A = {6, 8, 11} और B = {5, 11, 13} तो A ∩ B ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

A = {6, 8, 11}

B = {5, 11, 13}

A ∩ B में वे अवयव लिए जाते हैं जो A तथा B दोनों समुच्चयों में उपस्थित हों।

A तथा B में उभयनिष्ठ अवयव = 11

अतः—

A ∩ B = {11}

प्रश्न 11. x² + 8x + 17 में x + 3 से भाग देकर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

             x + 5
          __________
x + 3 ) x² + 8x + 17
          x² + 3x
          ----------
               5x + 17
               5x + 15
               --------
                      2

अतः—

भागफल = x + 5

शेषफल = 2

प्रश्न 12. निम्नलिखित सारणी में 50 शिक्षार्थियों का भार किलोग्राम में दिया हुआ है। उनके भार का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

समान्तर माध्य = Σfx / Σf

= 2148/50

= 42.96

अतः शिक्षार्थियों के भार का समान्तर माध्य 42.96 किग्रा है।

प्रश्न 13. हर्षिता ने एक राष्ट्रीयकृत बैंक में ₹5000 जमा किए। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितने रुपये मिलेंगे, यदि बैंक 8% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज देता हो?

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹5000

ब्याज की दर (r) = 8% वार्षिक

समय (n) = 2 वर्ष

चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र—

A = P(1 + r/100)ⁿ

मान रखने पर—

A = 5000(1 + 8/100)²

= 5000 × (108/100)²

= 5000 × (27/25)²

= 5000 × 729/625

= 8 × 729

= ₹5832

अतः 2 वर्ष बाद हर्षिता को कुल ₹5832 मिलेंगे।

प्रश्न 14. अभिषेक के कमरे की लम्बाई 4 मीटर, चौड़ाई 3.5 मीटर तथा ऊँचाई 3 मीटर है। इस कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

लम्बाई (l) = 4 मीटर

चौड़ाई (b) = 3.5 मीटर

ऊँचाई (h) = 3 मीटर

कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल—

= 2(l + b)h

= 2(4 + 3.5) × 3

= 2 × 7.5 × 3

= 15 × 3

= 45 वर्ग मीटर

अतः कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 45 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 15. चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। यदि ∠ABC = 40° तथा ∠CAB = 80° हो, तो ∠ADB का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

∠ABC = 40°

∠CAB = 80°

त्रिभुज ABC में तीनों कोणों का योग 180° होता है।

अतः—

∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°

80° + 40° + ∠ACB = 180°

120° + ∠ACB = 180°

∠ACB = 180° - 120°

∠ACB = 60°

अब ∠ACB तथा ∠ADB दोनों एक ही जीवा AB द्वारा वृत्त के एक ही खण्ड में बने कोण हैं।

एक ही जीवा द्वारा वृत्त के एक ही खण्ड में बने कोण बराबर होते हैं।

अतः—

∠ADB = ∠ACB

∠ADB = 60°

प्रश्न 16. यदि एक क्रेता को एक शेयर का अंकित मूल्य ₹10 और बाजार मूल्य ₹40 प्रति शेयर बताया गया हो, तो क्रेता को 300 शेयरों के लिए क्या मूल्य देना पड़ेगा तथा शेयरधारी को क्या लाभ होगा, जबकि उसने शेयर अंकित मूल्य पर खरीदा था?

उत्तर:

दिया है—

एक शेयर का अंकित मूल्य = ₹10

एक शेयर का बाजार मूल्य = ₹40

शेयरों की संख्या = 300

300 शेयरों का बाजार मूल्य—

= 300 × 40

= ₹12,000

अतः क्रेता को 300 शेयर खरीदने के लिए ₹12,000 देने होंगे।

अब शेयरधारी ने एक शेयर ₹10 के अंकित मूल्य पर खरीदा था।

प्रति शेयर लाभ—

= बाजार मूल्य - क्रय मूल्य

= 40 - 10

= ₹30

300 शेयरों पर कुल लाभ—

= 300 × 30

= ₹9,000

अतः शेयरधारी को कुल ₹9,000 का लाभ होगा।

प्रश्न 17. 3x² + 10x - 8 का गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

3x² + 10x - 8

मध्य पद को विभाजित करने पर—

= 3x² + 12x - 2x - 8

प्रथम दो तथा अन्तिम दो पदों का समूह बनाने पर—

= 3x(x + 4) - 2(x + 4)

समान गुणनखण्ड (x + 4) बाहर लेने पर—

= (x + 4)(3x - 2)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(3x - 2)(x + 4)

प्रश्न 18. एक ठोस घनाकार धात्विक टुकड़े का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 216 सेमी² है। इस टुकड़े का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 216 सेमी²

माना घन की भुजा = a सेमी

घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल—

= 6a²

अतः—

6a² = 216

a² = 216/6

a² = 36

a = 6 सेमी

अब घन का आयतन—

= a³

= 6³

= 6 × 6 × 6

= 216 सेमी³

अतः घनाकार धात्विक टुकड़े का आयतन 216 सेमी³ है।