गणित Previous Year Paper 2021

प्रश्न 1. द्रव्यमानों 50 ग्राम और 1/2 किग्रा का अनुपात है—

(A) 100 : 1

(B) 50 : 2

(C) 1 : 10

(D) 10 : 1

उत्तर: (C) 1 : 10

हम जानते हैं—

1 किग्रा = 1000 ग्राम

अतः—

1/2 किग्रा = 1000/2 ग्राम

= 500 ग्राम

अब दोनों द्रव्यमानों का अनुपात—

= 50 ग्राम : 500 ग्राम

= 50 : 500

दोनों पदों को 50 से भाग देने पर—

= 1 : 10

प्रश्न 2. अर्द्धवृत्त में स्थित कोण का मान होता है—

(A) 80°

(B) 60°

(C) π/2 रेडियन

(D) 180°

उत्तर: (C) π/2 रेडियन

अर्द्धवृत्त में व्यास द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण समकोण होता है।

अतः—

अर्द्धवृत्त में स्थित कोण = 90°

हम जानते हैं—

180° = π रेडियन

अतः—

90° = π/2 रेडियन

इसलिए सही उत्तर π/2 रेडियन है।

प्रश्न 3. नीचे दिए गए खातों के प्रकार में से कौन-से बैंक खाते पर बैंक ब्याज नहीं देता है—

(A) बचत खाता

(B) सावधि खाता

(C) आवर्ती खाता

(D) चालू खाता

उत्तर: (D) चालू खाता

चालू खाते का प्रयोग मुख्यतः व्यवसायियों तथा संस्थानों द्वारा बार-बार लेन-देन के लिए किया जाता है। सामान्यतः चालू खाते पर ब्याज नहीं दिया जाता है।

प्रश्न 4. यदि समुच्चय A = {1, 2, 3, 5, 9} तथा B = {2, 3, 5, 7, 8} हो, तो A - B समुच्चय होगा—

(A) {1, 2, 3}

(B) {1, 9}

(C) {2, 7, 8}

(D) {7, 8}

उत्तर: (B) {1, 9}

दिया है—

A = {1, 2, 3, 5, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8}

A - B में A के वे अवयव लिए जाते हैं जो B में नहीं होते हैं।

A के अवयवों में 2, 3 और 5, B में भी उपस्थित हैं।

1 तथा 9, B में उपस्थित नहीं हैं।

अतः—

A - B = {1, 9}

प्रश्न 5. (1/2)^-2 × (1/2)² का मान है—

(A) 0

(B) 1

(C) 1/2

(D) 2

उत्तर: (B) 1

दिया गया व्यंजक—

(1/2)^-2 × (1/2)²

समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़ दिए जाते हैं।

अतः—

= (1/2)^{-2 + 2}

= (1/2)⁰

किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात 1 होती है।

अतः—

= 1

प्रश्न 6. log_0.30.09 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

0.3 × 0.3 = 0.09

अर्थात्—

0.09 = (0.3)²

अतः—

log_0.30.09

= log_0.3(0.3)²

= 2 log_0.3(0.3)

= 2 × 1

= 2

अतः log_0.30.09 का मान 2 है।

प्रश्न 7. x^(a-b) × x^(b-c) × x^(c-a) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x^(a-b) × x^(b-c) × x^(c-a)

समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़ दिए जाते हैं।

अतः—

= x^{(a-b)+(b-c)+(c-a)}

= x^a-b+b-c+c-a

= x⁰

= 1

अतः दिए गए व्यंजक का मान 1 है, जहाँ x ≠ 0।

प्रश्न 8. ₹3000 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 18 माह का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹3000

दर (R) = 5% वार्षिक

समय (T) = 18 माह

समय को वर्ष में बदलने पर—

T = 18/12 वर्ष

= 3/2 वर्ष

= 1.5 वर्ष

साधारण ब्याज का सूत्र—

SI = (P × R × T)/100

मान रखने पर—

SI = (3000 × 5 × 1.5)/100

= 22500/100

= ₹225

अतः 18 माह का साधारण ब्याज ₹225 है।

प्रश्न 9. किसी वृत्त की छेदक रेखा, वृत्त को कितने बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करती है?

उत्तर: जो रेखा किसी वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर काटती है, उसे छेदक रेखा कहते हैं। अतः छेदक रेखा वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करती है।

प्रश्न 10. एक व्यक्ति ₹25 वाले शेयरों में ₹2500 पूँजी लगाता है। जब शेयर का मूल्य ₹30 हो जाता है, तब वह उन्हें बेच देता है। व्यक्ति को हुए लाभ की गणना कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

एक शेयर का क्रय मूल्य = ₹25

कुल निवेश = ₹2500

शेयरों की संख्या—

= कुल निवेश / एक शेयर का क्रय मूल्य

= 2500/25

= 100

अब एक शेयर का विक्रय मूल्य = ₹30

100 शेयरों का कुल विक्रय मूल्य—

= 100 × 30

= ₹3000

लाभ—

= विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य

= 3000 - 2500

= ₹500

अतः व्यक्ति को ₹500 का लाभ हुआ।

प्रश्न 11. वृत्त का केन्द्र O है। यदि ∠APB = 30° हो, तो ∠AOB होगा—

(A) 15°

(B) 60°

(C) 30°

(D) 90°

उत्तर: (B) 60°

एक ही चाप AB पर केन्द्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।

अतः—

∠AOB = 2 × ∠APB

= 2 × 30°

= 60°

अतः ∠AOB का मान 60° है।

प्रश्न 12. दिए गए चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠ADC = 100° हो, तो ∠BAC का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

चित्र में AB वृत्त का व्यास है।

अतः अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।

इसलिए—

∠ACB = 90°

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।

अतः—

∠ADC + ∠ABC = 180°

100° + ∠ABC = 180°

∠ABC = 180° - 100°

∠ABC = 80°

अब ΔABC में तीनों कोणों का योग 180° होता है।

अतः—

∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°

90° + 80° + ∠BAC = 180°

170° + ∠BAC = 180°

∠BAC = 180° - 170°

∠BAC = 10°

अतः ∠BAC = 10°।

प्रश्न 13. x² - x - 42 का गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x² - x - 42

मध्य पद -x को -7x + 6x के रूप में लिखने पर—

= x² - 7x + 6x - 42

समूह बनाने पर—

= x(x - 7) + 6(x - 7)

समान गुणनखण्ड (x - 7) बाहर लेने पर—

= (x - 7)(x + 6)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(x - 7)(x + 6)

प्रश्न 14. ₹1000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, यदि ब्याज छमाही चक्रवृद्धि देय हो।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹1000

वार्षिक ब्याज दर = 10%

चूँकि ब्याज छमाही चक्रवृद्धि है, इसलिए—

छमाही ब्याज दर—

= 10/2

= 5%

1 वर्ष में छमाहियों की संख्या = 2

अतः n = 2

मिश्रधन का सूत्र—

A = P(1 + r/100)ⁿ

मान रखने पर—

A = 1000(1 + 5/100)²

= 1000(105/100)²

= 1000(21/20)²

= 1000 × 441/400

= ₹1102.50

अब चक्रवृद्धि ब्याज—

= मिश्रधन - मूलधन

= 1102.50 - 1000

= ₹102.50

अतः 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹102.50 है।

प्रश्न 15. किसी कक्षा के छात्रों की लम्बाई का आँकड़ा निम्न है। छात्रों की माध्य ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

यहाँ—

Σf = 20

Σfx = 2640

समान्तर माध्य का सूत्र—

माध्य = Σfx/Σf

= 2640/20

= 132 सेमी

अतः छात्रों की माध्य ऊँचाई 132 सेमी है।

प्रश्न 16. (25)^-3 × 1/8 × (3)^-3 × (4/3)^-2 × 10² को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

25^-3 × 1/8 × 3^-3 × (4/3)^-2 × 10²

ऋणात्मक घात के नियम से—

a^-n = 1/aⁿ

तथा—

(a/b)^-n = (b/a)ⁿ

अतः—

= 1/25³ × 1/8 × 1/3³ × (3/4)² × 100

= 1/15625 × 1/8 × 1/27 × 9/16 × 100

अब 9/27 = 1/3

अतः—

= 1/15625 × 1/8 × 1/3 × 1/16 × 100

= 100/(15625 × 8 × 3 × 16)

= 100/(15625 × 384)

= 100/6000000

= 1/60000

अतः दिए गए व्यंजक का मान 1/60000 है।

प्रश्न 17. एक कार 30 किमी/घण्टा की चाल से कोई दूरी 3 घण्टे में तय करती है। उसी दूरी को दूसरी कार, जिसकी चाल 40 किमी/घण्टा है, कितने समय में तय करेगी?

उत्तर:

पहली कार की चाल = 30 किमी/घण्टा

पहली कार द्वारा लिया गया समय = 3 घण्टे

हम जानते हैं—

दूरी = चाल × समय

अतः दूरी—

= 30 × 3

= 90 किमी

अब दूसरी कार की चाल = 40 किमी/घण्टा

समय का सूत्र—

समय = दूरी/चाल

अतः—

समय = 90/40 घण्टा

= 9/4 घण्टा

= 2 1/4 घण्टा

= 2.25 घण्टा

1/4 घण्टा = 60/4 मिनट

= 15 मिनट

अतः समय = 2 घण्टे 15 मिनट

प्रश्न 18. x³ - x का गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x³ - x

दोनों पदों में x उभयनिष्ठ है।

अतः—

= x(x² - 1)

हम जानते हैं—

a² - b² = (a - b)(a + b)

इसलिए—

x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

अतः—

= x(x - 1)(x + 1)

अतः गुणनखण्ड हैं—

x(x - 1)(x + 1)