गणित Previous Year Paper 2023

प्रश्न 1. x³ + 2x² + 5x + 10 का गुणनखण्ड है—

(A) (x + 5)(x² + 2)

(B) (x² + 5)(x + 2)

(C) (x² - 5)(x - 2)

(D) (x² + 5)(x - 2)

उत्तर: (B) (x² + 5)(x + 2)

दिया गया व्यंजक—

x³ + 2x² + 5x + 10

समूह बनाने पर—

= x²(x + 2) + 5(x + 2)

समान गुणनखण्ड (x + 2) बाहर लेने पर—

= (x² + 5)(x + 2)

प्रश्न 2. यदि log_a3^(x+2) = log_a243 हो, तो x का मान है—

(A) 3

(B) 5

(C) 7

(D) 2

उत्तर: (A) 3

हम जानते हैं—

243 = 3⁵

अतः—

log_a3^(x+2) = log_a3⁵

समान आधार वाले लघुगणकों के बराबर होने पर उनके arguments बराबर होंगे।

अतः—

3^(x+2) = 3⁵

x + 2 = 5

x = 5 - 2

x = 3

अतः सही उत्तर 3 है, जहाँ a > 0 तथा a ≠ 1।

प्रश्न 3. एक कमरे के फर्श का क्षेत्रफल 48 वर्ग मीटर है। यदि उसकी ऊँचाई 5 मीटर हो, तो कमरे का आयतन है—

(A) 220 मीटर³

(B) 230 मीटर³

(C) 240 मीटर³

(D) 250 मीटर³

उत्तर: (C) 240 मीटर³

दिया है—

फर्श का क्षेत्रफल = 48 वर्ग मीटर

कमरे की ऊँचाई = 5 मीटर

कमरे का आयतन—

= फर्श का क्षेत्रफल × ऊँचाई

= 48 × 5

= 240 मीटर³

प्रश्न 4. ⁶√(2/5) का घातांकीय रूप है—

(A) (2/5)^1/6

(B) (2/5)⁶

(C) (5/2)⁶

(D) (5/2)^1/8

उत्तर: (A) (2/5)^1/6

हम जानते हैं—

ⁿ√a = a^1/n

अतः—

⁶√(2/5)

= (2/5)^1/6

प्रश्न 5. यदि A = {x : x विषम प्राकृत संख्या और x ≥ 3} तथा B = {2, 3, 5, 6, 7, 8} हो, तो A - B है—

(A) {9, 11, 13, ...}

(B) {2, 7, 8}

(C) {3, 5, 7}

(D) {2, 6, 8}

उत्तर: (A) {9, 11, 13, ...}

दिया है—

A = {3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

B = {2, 3, 5, 6, 7, 8}

A - B में A के वे अवयव लिए जाते हैं जो B में उपस्थित नहीं होते हैं।

A के अवयव 3, 5 तथा 7, B में भी उपस्थित हैं।

अतः उन्हें हटाने पर—

A - B = {9, 11, 13, ...}

प्रश्न 6. यदि 5, 15, x एवं 105 समानुपाती हों, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

5 : 15 :: x : 105

अर्थात्—

5/15 = x/105

समानुपात के गुण से—

5 × 105 = 15 × x

525 = 15x

x = 525/15

x = 35

अतः x = 35।

प्रश्न 7. चेक कितने प्रकार के होते हैं? उनके नाम लिखिए।

उत्तर: चेक मुख्यतः तीन प्रकार के होते हैं—

1. वाहक अथवा धारक चेक (Bearer Cheque)
2. आदेशित चेक (Order Cheque)
3. रेखांकित चेक (Crossed Cheque)

प्रश्न 8. ₹40,000 का 8 1/2% वार्षिक ब्याज की दर से 4 वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹40,000

दर (R) = 8 1/2%

= 17/2%

समय (T) = 4 वर्ष

साधारण ब्याज का सूत्र—

SI = (P × R × T)/100

मान रखने पर—

SI = (40000 × 17/2 × 4)/100

= (40000 × 17 × 4)/(100 × 2)

= 400 × 17 × 2

= 800 × 17

= ₹13,600

अतः 4 वर्ष का साधारण ब्याज ₹13,600 है।

प्रश्न 9. (a + b + c)² + 2(a + b + c)(a - b - c) + (a - b - c)² का गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

(a + b + c)² + 2(a + b + c)(a - b - c) + (a - b - c)²

माना—

x = a + b + c

तथा—

y = a - b - c

तब दिया गया व्यंजक—

= x² + 2xy + y²

हम जानते हैं—

x² + 2xy + y² = (x + y)²

अतः—

= (x + y)²

= (a + b + c + a - b - c)²

= (2a)²

= 4a²

अतः दिए गए व्यंजक का सरल गुणनखण्ड रूप (2a)² = 4a² है।

प्रश्न 10. 9x³ - 45x² + 71x - 40 में 3x - 8 से भाग देकर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

                 3x² - 7x + 5
             __________________
3x - 8 ) 9x³ - 45x² + 71x - 40
          9x³ - 24x²
          ----------------
                -21x² + 71x
                -21x² + 56x
                -------------
                         15x - 40
                         15x - 40
                         --------
                                 0

अतः—

भागफल = 3x² - 7x + 5

शेषफल = 0

प्रश्न 11. चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। AP स्पर्श रेखा है। यदि OA = 5 सेमी तथा OP = 13 सेमी हो, तो PA की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

OA = 5 सेमी

OP = 13 सेमी

AP वृत्त की स्पर्श रेखा है तथा A स्पर्श-बिन्दु है।

वृत्त के स्पर्श-बिन्दु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

अतः—

OA ⟂ AP

इसलिए ΔOAP एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें OP कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय से—

OP² = OA² + AP²

13² = 5² + AP²

169 = 25 + AP²

AP² = 169 - 25

AP² = 144

AP = √144

AP = 12 सेमी

अतः PA की लम्बाई 12 सेमी है।

प्रश्न 12. सरल कीजिए: (3/4)^-2 ÷ (2/3)^-4

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

(3/4)^-2 ÷ (2/3)^-4

हम जानते हैं—

(a/b)^-n = (b/a)ⁿ

अतः—

(3/4)^-2 = (4/3)²

तथा—

(2/3)^-4 = (3/2)⁴

इसलिए—

= (4/3)² ÷ (3/2)⁴

भाग को गुणा में बदलने पर—

= (4/3)² × (2/3)⁴

= 16/9 × 16/81

= (16 × 16)/(9 × 81)

= 256/729

अतः दिए गए व्यंजक का मान 256/729 है।

प्रश्न 13. 50 आदमी एक काम को 40 दिन में कर सकते हैं। बताइए 30 आदमी कितने दिन बाद हटा दिए जाएँ कि शेष काम 75 दिनों में समाप्त हो जाए?

उत्तर:

50 आदमी पूरे काम को 40 दिन में पूरा कर सकते हैं।

अतः कुल काम—

= आदमी × दिन

= 50 × 40

= 2000 आदमी-दिन

माना 30 आदमी x दिन बाद हटा दिए जाते हैं।

पहले x दिनों तक 50 आदमी काम करेंगे।

अतः x दिनों में किया गया काम—

= 50x आदमी-दिन

30 आदमी हटाने के बाद शेष आदमी—

= 50 - 30

= 20 आदमी

ये 20 आदमी शेष काम को 75 दिनों में पूरा करते हैं।

अतः शेष काम—

= 20 × 75

= 1500 आदमी-दिन

इसलिए—

पहले किया गया काम + शेष काम = कुल काम

50x + 1500 = 2000

50x = 2000 - 1500

50x = 500

x = 500/50

x = 10 दिन

अतः 10 दिन बाद 30 आदमी हटा दिए जाने चाहिए।

प्रश्न 14. निम्न आँकड़ों की माध्यिका एवं बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

कुल बारम्बारता—

= 4 + 3 + 5 + 4 + 4 + 3

= 23

संचयी बारम्बारता ज्ञात करने पर—

कुल पदों की संख्या n = 23 है।

चूँकि n विषम है, इसलिए माध्यिका का स्थान—

= (n + 1)/2

= (23 + 1)/2

= 24/2

= 12वाँ पद

संचयी बारम्बारता से 12वाँ पद आयु 13 के अन्तर्गत आता है।

अतः माध्यिका = 13 वर्ष

अब सर्वाधिक बारम्बारता = 5

यह आयु 13 की है।

अतः बहुलक = 13 वर्ष

इसलिए माध्यिका = 13 वर्ष तथा बहुलक = 13 वर्ष।

प्रश्न 15. यदि एक शेयर का अंकित मूल्य ₹10 तथा बाजार मूल्य ₹50 प्रति शेयर हो, तो क्रेता को 200 शेयरों के लिए क्या मूल्य देना पड़ेगा तथा शेयरधारी को क्या लाभ होगा, जबकि उसने शेयर अंकित मूल्य पर खरीदा था?

उत्तर:

दिया है—

एक शेयर का अंकित मूल्य = ₹10

एक शेयर का बाजार मूल्य = ₹50

शेयरों की संख्या = 200

क्रेता को 200 शेयर खरीदने के लिए देना होगा—

= 200 × बाजार मूल्य

= 200 × 50

= ₹10,000

अब शेयरधारी ने प्रत्येक शेयर ₹10 के अंकित मूल्य पर खरीदा था।

प्रति शेयर लाभ—

= बाजार मूल्य - क्रय मूल्य

= 50 - 10

= ₹40

200 शेयरों पर कुल लाभ—

= 200 × 40

= ₹8,000

अतः क्रेता को 200 शेयरों के लिए ₹10,000 देने होंगे तथा शेयरधारी को ₹8,000 का लाभ होगा।

प्रश्न 16. एक घनाकार टंकी की भीतरी भुजा 30 सेमी है। टंकी पानी से पूरी भरी है। यदि इसमें से 7 लीटर पानी निकाल लिया जाए, तो टंकी में पानी कितनी ऊँचाई तक रह जाएगा? (1 लीटर = 1000 घन सेमी)

उत्तर:

दिया है—

घनाकार टंकी की भीतरी भुजा = 30 सेमी

टंकी पूरी भरी हुई है।

टंकी का आयतन—

= a³

= 30³

= 30 × 30 × 30

= 27000 सेमी³

निकाला गया पानी = 7 लीटर

चूँकि—

1 लीटर = 1000 सेमी³

अतः 7 लीटर—

= 7 × 1000

= 7000 सेमी³

शेष पानी का आयतन—

= 27000 - 7000

= 20000 सेमी³

टंकी के आधार का क्षेत्रफल—

= 30 × 30

= 900 सेमी²

माना शेष पानी की ऊँचाई = h सेमी

पानी का आयतन—

= आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

अतः—

900 × h = 20000

h = 20000/900

= 200/9

= 22 2/9 सेमी

≈ 22.22 सेमी

अतः टंकी में पानी लगभग 22.22 सेमी ऊँचाई तक रहेगा।

प्रश्न 17. चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। ∠COA = 130° है। ∠ADC का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

∠COA = 130°

∠COA चाप CA पर बना केन्द्रीय कोण है।

∠ADC उसी चाप CA पर बना परिधीय कोण है।

एक ही चाप पर बना केन्द्रीय कोण, परिधीय कोण का दोगुना होता है।

अतः—

∠COA = 2∠ADC

∠ADC = 1/2 × ∠COA

= 1/2 × 130°

= 65°

अतः ∠ADC = 65°।

प्रश्न 18. ₹16,000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 1 1/2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज छमाही देय है।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹16,000

वार्षिक ब्याज दर = 10%

समय = 1 1/2 वर्ष

चूँकि ब्याज छमाही देय है, इसलिए प्रत्येक छमाही की ब्याज दर—

= 10/2%

= 5%

1 वर्ष में छमाहियों की संख्या = 2

अतः 1 1/2 वर्ष में छमाहियों की संख्या—

= 1.5 × 2

= 3

अतः n = 3

मिश्रधन का सूत्र—

A = P(1 + r/100)ⁿ

मान रखने पर—

A = 16000(1 + 5/100)³

= 16000(105/100)³

= 16000(21/20)³

= 16000 × 9261/8000

= 2 × 9261

= ₹18,522

अब चक्रवृद्धि ब्याज—

= मिश्रधन - मूलधन

= 18,522 - 16,000

= ₹2,522

अतः 1 1/2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹2,522 है।