गणित Previous Year Paper 2019

प्रश्न 1. a⁷ × a^-9 का मान है—

(A) a^-9

(B) a⁷

(C) a^-2

(D) a²

उत्तर: (C) a^-2

दिया गया व्यंजक—

a⁷ × a^-9

हम जानते हैं—

a^m × aⁿ = a^m+n

अतः—

= a^{7 + (-9)}

= a^{7 - 9}

= a^-2

= a^-2

अतः सही उत्तर a^-2 है, जहाँ a ≠ 0।

प्रश्न 2. (a³ - b³)/(a² + ab + b²) का मान होगा—

(A) a² - b²

(B) a - b

(C) a² + b²

(D) कोई नहीं

उत्तर: (B) a - b

हम जानते हैं—

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

अतः—

(a³ - b³)/(a² + ab + b²)

= [(a - b)(a² + ab + b²)]/(a² + ab + b²)

= a - b

अतः सही उत्तर a - b है, बशर्ते a² + ab + b² ≠ 0।

प्रश्न 3. 7/20 भिन्न का प्रतिशत रूप होगा—

(A) 15%

(B) 20%

(C) 25%

(D) 35%

उत्तर: (D) 35%

किसी भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा करते हैं।

अतः—

7/20 × 100

= 7 × 5

= 35%

प्रश्न 4. यदि समुच्चय A = {4, 6, 7}, B = {3, 5, 6} हो, तो A ∩ B का अवयव होगा—

(A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 24

उत्तर: (B) 6

दिया है—

A = {4, 6, 7}

B = {3, 5, 6}

A ∩ B में वे अवयव लिए जाते हैं जो A तथा B दोनों समुच्चयों में उपस्थित हों।

दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ अवयव = 6

अतः—

A ∩ B = {6}

प्रश्न 5. एक वर्ग मीटर बराबर है—

(A) 1,000 वर्ग सेमी

(B) 100 वर्ग सेमी

(C) 10,000 वर्ग सेमी

(D) 10 वर्ग सेमी

उत्तर: (C) 10,000 वर्ग सेमी

हम जानते हैं—

1 मीटर = 100 सेमी

अतः—

1 वर्ग मीटर = (100 सेमी)²

= 100 × 100 वर्ग सेमी

= 10,000 वर्ग सेमी

प्रश्न 6. वाहक चेक किसे कहते हैं?

उत्तर: ऐसा चेक जिसका भुगतान उसे बैंक में प्रस्तुत करने वाले धारक को किया जा सकता है, वाहक चेक (Bearer Cheque) कहलाता है। इसे सामान्यतः सुपुर्दगी द्वारा हस्तान्तरित किया जा सकता है।

प्रश्न 7. एक समकोण त्रिभुज के समकोण बनाने वाली भुजाएँ 4 सेमी तथा 6 सेमी हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

आधार = 6 सेमी

ऊँचाई = 4 सेमी

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल—

= 1/2 × आधार × ऊँचाई

= 1/2 × 6 × 4

= 3 × 4

= 12 वर्ग सेमी

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 8. यदि 9, x, 12 व 16 समानुपात में हों, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

9 : x :: 12 : 16

अर्थात्—

9/x = 12/16

समानुपात में बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल

अतः—

9 × 16 = 12 × x

144 = 12x

x = 144/12

x = 12

अतः x = 12।

प्रश्न 9. x² + 3x - 10 का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x² + 3x - 10

मध्य पद 3x को 5x - 2x के रूप में लिखने पर—

= x² + 5x - 2x - 10

समूह बनाने पर—

= x(x + 5) - 2(x + 5)

समान गुणनखण्ड (x + 5) बाहर लेने पर—

= (x + 5)(x - 2)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(x + 5)(x - 2)

प्रश्न 10. 6.0 मीटर लम्बाई, 2.5 मीटर ऊँचाई एवं 15 सेमी मोटाई वाली एक दीवार का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

लम्बाई = 6.0 मीटर

ऊँचाई = 2.5 मीटर

मोटाई = 15 सेमी

= 15/100 मीटर

= 0.15 मीटर

दीवार का आयतन—

= लम्बाई × ऊँचाई × मोटाई

= 6.0 × 2.5 × 0.15

= 15 × 0.15

= 2.25 मीटर³

अतः दीवार का आयतन 2.25 मीटर³ है।

प्रश्न 11. 9 4/5 में किस संख्या से गुणा करें कि गुणनफल 42 हो जाए?

उत्तर:

मिश्र भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने पर—

9 4/5 = (9 × 5 + 4)/5

= (45 + 4)/5

= 49/5

माना आवश्यक संख्या = x

प्रश्नानुसार—

49/5 × x = 42

x = 42 × 5/49

= (6 × 5)/7

= 30/7

अतः आवश्यक संख्या 30/7 है।

प्रश्न 12. ₹1000 का 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹1000

दर (R) = 10% वार्षिक

समय (n) = 2 वर्ष

चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र—

A = P(1 + R/100)ⁿ

मान रखने पर—

A = 1000(1 + 10/100)²

= 1000(110/100)²

= 1000(11/10)²

= 1000 × 121/100

= ₹1210

अब चक्रवृद्धि ब्याज—

= मिश्रधन - मूलधन

= 1210 - 1000

= ₹210

अतः 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹210 है।

प्रश्न 13. एक ठोस घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई में 4 : 5 : 6 का अनुपात है। उसका आयतन 960 घन सेमी हो, तो घनाभ की मापें ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

लम्बाई : चौड़ाई : ऊँचाई = 4 : 5 : 6

माना—

लम्बाई = 4x सेमी

चौड़ाई = 5x सेमी

ऊँचाई = 6x सेमी

घनाभ का आयतन = 960 सेमी³

हम जानते हैं—

घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

अतः—

960 = 4x × 5x × 6x

960 = 120x³

x³ = 960/120

x³ = 8

x = ∛8

x = 2

अतः—

लम्बाई = 4 × 2

= 8 सेमी

चौड़ाई = 5 × 2

= 10 सेमी

ऊँचाई = 6 × 2

= 12 सेमी

अतः घनाभ की मापें 8 सेमी × 10 सेमी × 12 सेमी हैं।

प्रश्न 14. x² - 1 - 2y - y² का गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x² - 1 - 2y - y²

पदों को व्यवस्थित करने पर—

= x² - (y² + 2y + 1)

क्योंकि—

y² + 2y + 1 = (y + 1)²

अतः—

= x² - (y + 1)²

अब a² - b² = (a + b)(a - b) से—

= [x + (y + 1)][x - (y + 1)]

= (x + y + 1)(x - y - 1)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(x + y + 1)(x - y - 1)

प्रश्न 15. एक वृत्त में 10 सेमी लम्बी जीवा खींची गई है, जिसकी केन्द्र से दूरी 12 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

जीवा AB की लम्बाई = 10 सेमी

केन्द्र O से जीवा AB की दूरी OM = 12 सेमी

केन्द्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

अतः—

AM = MB = 10/2

= 5 सेमी

समकोण त्रिभुज OMB में—

OM = 12 सेमी

MB = 5 सेमी

OB = r

पाइथागोरस प्रमेय से—

OB² = OM² + MB²

r² = 12² + 5²

= 144 + 25

= 169

r = √169

r = 13 सेमी

अतः वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है।

प्रश्न 16. संख्या 1 से 20 तक की सम संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1 से 20 तक की सम संख्याएँ हैं—

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

कुल सम संख्याओं की संख्या = 10

इनका योग—

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20

= 110

समान्तर माध्य—

= सभी पदों का योग / कुल पदों की संख्या

= 110/10

= 11

अतः समान्तर माध्य 11 है।

प्रश्न 17. निम्नलिखित घातांकीय रूप को लघुगणकीय रूप में प्रदर्शित कीजिए—
(i) 13² = 169    (ii) 10^-3 = 1/10³

उत्तर:

हम जानते हैं—

यदि a^x = y, तो—

log_ay = x

(i)

13² = 169

अतः इसका लघुगणकीय रूप—

log₁₃169 = 2

(ii)

10^-3 = 1/10³

अतः इसका लघुगणकीय रूप—

log₁₀(1/10³) = -3

प्रश्न 18. एक समद्विबाहु त्रिभुज के समान कोण तीसरे कोण से चार गुना हैं, तो त्रिभुज के तीनों कोणों का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना तीसरा कोण = x

प्रश्नानुसार दोनों समान कोण तीसरे कोण के चार गुने हैं।

अतः—

पहला समान कोण = 4x

दूसरा समान कोण = 4x

हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

अतः—

x + 4x + 4x = 180°

9x = 180°

x = 180°/9

x = 20°

अतः दोनों समान कोण—

= 4 × 20°

= 80°

इसलिए त्रिभुज के तीनों कोण हैं—

80°, 80° और 20°