गणित Previous Year Paper 2020

प्रश्न 1. 125/64 के घन रूप का आधार है—

(A) 25/8

(B) 5/4

(C) 4/5

(D) 2/5

उत्तर: (B) 5/4

दिया है—

125/64

= (5 × 5 × 5)/(4 × 4 × 4)

= (5/4)³

अतः घन रूप का आधार = 5/4

प्रश्न 2. वृत्त पर स्थित किसी एक बिन्दु से खींची जाने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या होती है—

(A) असंख्य

(B) शून्य

(C) दो

(D) एक

उत्तर: (D) एक

वृत्त पर स्थित किसी एक बिन्दु से वृत्त की केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।

यह स्पर्श-बिन्दु पर खींची गई त्रिज्या के लम्बवत् होती है।

प्रश्न 3. A.T.M. का पूरा नाम है—

(A) Automatic Tracer Machine

(B) Automatic Talking Machine

(C) Automatic Time Machine

(D) Automated Teller Machine

उत्तर: (D) Automated Teller Machine

ATM का पूरा नाम Automated Teller Machine है। इसका उपयोग नकद निकासी, शेष राशि की जानकारी तथा अन्य बैंकिंग सेवाओं के लिए किया जाता है।

प्रश्न 4. एक घनाकार बक्से की एक भुजा 1 मीटर 30 सेमी है। बक्से का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है—

(A) 101400 सेमी²

(B) 16900 सेमी²

(C) 10140 सेमी²

(D) 1014 सेमी²

उत्तर: (A) 101400 सेमी²

दिया है—

घन की भुजा = 1 मीटर 30 सेमी

= 100 सेमी + 30 सेमी

= 130 सेमी

घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल—

= 6a²

= 6 × (130)²

= 6 × 16900

= 101400 सेमी²

अतः सही उत्तर 101400 सेमी² है।

प्रश्न 5. x³ + 2x² + 5x + 10 का गुणनखण्ड है—

(A) (x + 5)(x² + 2)

(B) (x² + 5)(x + 2)

(C) (x² - 5)(x - 2)

(D) (x² + 5)(x - 2)

उत्तर: (B) (x² + 5)(x + 2)

दिया गया व्यंजक—

x³ + 2x² + 5x + 10

समूह बनाने पर—

= x²(x + 2) + 5(x + 2)

समान गुणनखण्ड (x + 2) बाहर लेने पर—

= (x² + 5)(x + 2)

प्रश्न 6. log₅625 = 4 को घातांकीय रूप में लिखिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

यदि log_ax = b, तो—

a^b = x

दिया है—

log₅625 = 4

अतः इसका घातांकीय रूप—

5⁴ = 625

प्रश्न 7. समुच्चय A = {x : x ≤ 5, जहाँ x विषम संख्या है} तथा B = {2, 3, 5, 1} हो, तो A ∩ B ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

यहाँ x को धनात्मक विषम संख्या माना गया है।

x ≤ 5 के लिए धनात्मक विषम संख्याएँ हैं—

1, 3, 5

अतः—

A = {1, 3, 5}

B = {2, 3, 5, 1}

A ∩ B में वे अवयव लिए जाते हैं जो दोनों समुच्चयों में उपस्थित हों।

दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव हैं—

1, 3, 5

अतः—

A ∩ B = {1, 3, 5}

प्रश्न 8. किसी कारखाने में 200 व्यक्ति काम करते हैं। यदि किसी दिन 25 व्यक्ति काम करने न आए हों, तो काम करने वाले तथा काम न करने वाले व्यक्तियों में अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

कुल व्यक्तियों की संख्या = 200

काम करने न आए व्यक्तियों की संख्या = 25

काम करने वाले व्यक्तियों की संख्या—

= 200 - 25

= 175

अतः काम करने वाले : काम न करने वाले—

= 175 : 25

दोनों पदों को 25 से भाग देने पर—

= 7 : 1

अतः आवश्यक अनुपात 7 : 1 है।

प्रश्न 9. x² + 7x + 14 में x + 3 से भाग देकर भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

             x + 4
          __________
x + 3 ) x² + 7x + 14
          x² + 3x
          ----------
               4x + 14
               4x + 12
               --------
                      2

अतः—

भागफल = x + 4

शेषफल = 2

प्रश्न 10. ₹5000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹5000

दर (r) = 10% वार्षिक

समय (n) = 3 वर्ष

चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र—

A = P(1 + r/100)ⁿ

मान रखने पर—

A = 5000(1 + 10/100)³

= 5000(110/100)³

= 5000(11/10)³

= 5000 × 1331/1000

= 5 × 1331

= ₹6655

अतः 3 वर्ष बाद चक्रवृद्धि मिश्रधन ₹6655 होगा।

प्रश्न 11. यदि 2.5 : x :: 1.25 : 2.5 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

2.5 : x :: 1.25 : 2.5

अर्थात्—

2.5/x = 1.25/2.5

समानुपात के गुण से—

2.5 × 2.5 = 1.25 × x

1.25x = 6.25

x = 6.25/1.25

x = 5

अतः x = 5।

प्रश्न 12. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि ∠ADC = 140° हो, तो ∠BAC ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

∠ADC = 140°

AB वृत्त का व्यास है।

अतः अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।

इसलिए—

∠ACB = 90°

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।

अतः—

∠ABC + ∠ADC = 180°

∠ABC + 140° = 180°

∠ABC = 180° - 140°

∠ABC = 40°

अब ΔABC में तीनों कोणों का योग 180° होता है।

अतः—

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

∠BAC + 40° + 90° = 180°

∠BAC + 130° = 180°

∠BAC = 180° - 130°

∠BAC = 50°

अतः ∠BAC = 50°।

प्रश्न 13. नीचे दी गई सारणी में 50 विद्यार्थियों के भार किलोग्राम में दिए गए हैं। इनके भार का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

यहाँ—

Σf = 50

Σfx = 2148

समान्तर माध्य का सूत्र—

समान्तर माध्य = Σfx/Σf

= 2148/50

= 42.96 किग्रा

अतः विद्यार्थियों के भार का समान्तर माध्य 42.96 किग्रा है।

प्रश्न 14. वृत्त की एक जीवा की लम्बाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघुवृत्त खण्ड पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना AB वृत्त की जीवा है तथा O वृत्त का केन्द्र है।

प्रश्नानुसार—

AB = वृत्त की त्रिज्या

चूँकि OA तथा OB भी वृत्त की त्रिज्याएँ हैं—

OA = OB = AB

अतः ΔAOB एक समबाहु त्रिभुज है।

इसलिए—

∠AOB = 60°

अतः लघु चाप AB का अंश माप = 60°

लघुवृत्त खण्ड पर स्थित बिन्दु C द्वारा बना ∠ACB दीर्घ चाप AB को अवरोधित करता है।

दीर्घ चाप AB का अंश माप—

= 360° - 60°

= 300°

वृत्त की परिधि पर बना कोण अपने द्वारा अवरोधित चाप के अंश माप का आधा होता है।

अतः—

∠ACB = 1/2 × 300°

= 150°

अतः अभीष्ट कोण 150° है।

प्रश्न 15. निम्नलिखित को सरल कीजिए—
(1) 2^-2 - {-2^-3 - (2^-2 - 3^-2)}
(2) 2⁵ × (16)^-2 ÷ 2^-3

उत्तर:

(1)

2^-2 - {-2^-3 - (2^-2 - 3^-2)}

= 1/4 - {-1/8 - (1/4 - 1/9)}

= 1/4 - {-1/8 - (9/36 - 4/36)}

= 1/4 - {-1/8 - 5/36}

= 1/4 - {-9/72 - 10/72}

= 1/4 - {-19/72}

= 1/4 + 19/72

= 18/72 + 19/72

= 37/72

अतः (1) का मान 37/72 है।

(2)

2⁵ × (16)^-2 ÷ 2^-3

चूँकि—

16 = 2⁴

अतः—

= 2⁵ × (2⁴)^-2 ÷ 2^-3

= 2⁵ × 2^-8 × 2³

= 2^{5 - 8 + 3}

= 2⁰

= 1

अतः (2) का मान 1 है।

प्रश्न 16. एक टेलीविजन सेट का मूल्य ₹15625 है। यदि उसका मूल्य प्रतिवर्ष 8% घटता है, तो 3 वर्ष बाद उसके मूल्य में कितनी गिरावट आएगी?

उत्तर:

दिया है—

प्रारम्भिक मूल्य (P) = ₹15625

मूल्य-ह्रास की दर (r) = 8% प्रतिवर्ष

समय (n) = 3 वर्ष

मूल्य-ह्रास के बाद वस्तु का मूल्य ज्ञात करने का सूत्र—

A = P(1 - r/100)ⁿ

मान रखने पर—

A = 15625(1 - 8/100)³

= 15625(92/100)³

= 15625(23/25)³

= 15625 × 12167/15625

= ₹12167

अतः 3 वर्ष बाद टेलीविजन का मूल्य = ₹12167

अब मूल्य में कुल गिरावट—

= प्रारम्भिक मूल्य - 3 वर्ष बाद का मूल्य

= 15625 - 12167

= ₹3458

अतः 3 वर्ष बाद टेलीविजन के मूल्य में ₹3458 की गिरावट आएगी।

प्रश्न 17. लोहे के घनाभ के आकार के टुकड़े की लम्बाई 75 सेमी, चौड़ाई 15 सेमी तथा ऊँचाई 5 सेमी है। इसमें से 15 सेमी लम्बे, 3 सेमी चौड़े और 1 सेमी ऊँचे कितने गुटके बनाए जा सकते हैं?

उत्तर:

दिया है—

बड़े घनाभ की लम्बाई = 75 सेमी

चौड़ाई = 15 सेमी

ऊँचाई = 5 सेमी

बड़े घनाभ का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 75 × 15 × 5

= 5625 सेमी³

एक छोटे गुटके की लम्बाई = 15 सेमी

चौड़ाई = 3 सेमी

ऊँचाई = 1 सेमी

एक छोटे गुटके का आयतन—

= 15 × 3 × 1

= 45 सेमी³

अतः गुटकों की संख्या—

= बड़े घनाभ का आयतन / एक गुटके का आयतन

= 5625/45

= 125

अतः कुल 125 गुटके बनाए जा सकते हैं।

प्रश्न 18. 15x⁴ + 3x² - 18 का गुणनखण्ड कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

15x⁴ + 3x² - 18

मध्य पद को विभाजित करने पर—

= 15x⁴ + 18x² - 15x² - 18

समूह बनाने पर—

= 3x²(5x² + 6) - 3(5x² + 6)

समान गुणनखण्ड (5x² + 6) बाहर लेने पर—

= (3x² - 3)(5x² + 6)

= 3(x² - 1)(5x² + 6)

हम जानते हैं—

x² - 1 = (x + 1)(x - 1)

अतः—

= 3(x + 1)(x - 1)(5x² + 6)

अतः गुणनखण्ड 3(x + 1)(x - 1)(5x² + 6) हैं।