गणित Previous Year Paper 2020

प्रश्न 1. संख्या 7534 में अंक 5 का स्थानीय मान है—

(a) 5

(b) 50

(c) 500

(d) 534

उत्तर: (c) 500

संख्या 7534 में अंक 5 सैकड़े के स्थान पर है।

अतः 5 का स्थानीय मान—

= 5 × 100

= 500

प्रश्न 2. दो बिन्दुओं से होकर जाने वाले वृत्तों की संख्या होगी—

(a) एक

(b) दो

(c) तीन

(d) असंख्य

उत्तर: (d) असंख्य

दो भिन्न निश्चित बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर अनेक केन्द्र लिए जा सकते हैं।

प्रत्येक ऐसे केन्द्र से दोनों बिन्दुओं की दूरी समान होगी, अतः उन दोनों बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।

इसलिए दो निश्चित बिन्दुओं से होकर असंख्य वृत्त खींचे जा सकते हैं।

प्रश्न 3. 3 1/2 + (-7 4/5) का मान है—

(a) 11 1/2

(b) -4 3/10

(c) -3 7/10

(d) 5 1/5

उत्तर: (b) -4 3/10

दिया गया व्यंजक—

3 1/2 + (-7 4/5)

मिश्र भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने पर—

= 7/2 + (-39/5)

= 7/2 - 39/5

2 और 5 का ल.स. = 10

अतः—

= 35/10 - 78/10

= (35 - 78)/10

= -43/10

= -4 3/10

प्रश्न 4. प्रथम क्रमागत तीन अभाज्य संख्याओं का म.स. है—

(a) 5

(b) 3

(c) 2

(d) 1

उत्तर: (d) 1

प्रथम तीन क्रमागत अभाज्य संख्याएँ—

2, 3 और 5

इन तीनों का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।

अतः इनका महत्तम समापवर्तक = 1

प्रश्न 5. x का x% = 64 हो, तो x = ?

(a) 80

(b) 88

(c) 40

(d) 100

उत्तर: (a) 80

दिया है—

x का x% = 64

अर्थात्—

x × x/100 = 64

x²/100 = 64

x² = 64 × 100

x² = 6400

x = √6400

x = 80

प्रतिशत के संदर्भ में x का धनात्मक मान लिया जाएगा।

प्रश्न 6. एक आयत की लम्बाई 60 सेमी तथा चौड़ाई 2.5 सेमी है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

आयत की लम्बाई = 60 सेमी

आयत की चौड़ाई = 2.5 सेमी

आयत का क्षेत्रफल—

= लम्बाई × चौड़ाई

= 60 × 2.5

= 60 × 25/10

= 6 × 25

= 150 वर्ग सेमी

अतः आयत का क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 7. (2x - 5)² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

(a - b)² = a² - 2ab + b²

यहाँ—

a = 2x तथा b = 5

अतः—

(2x - 5)²

= (2x)² - 2 × 2x × 5 + 5²

= 4x² - 20x + 25

अतः मान 4x² - 20x + 25 है।

प्रश्न 8. पटरी और परकार की सहायता से 90° का कोण बनाइए।

उत्तर:

रचना के चरण—

1. एक किरण AB खींचिए तथा इसे A के पीछे की ओर बढ़ाकर एक सीधी रेखा बनाइए।
2. A को केन्द्र मानकर किसी सुविधाजनक त्रिज्या से चाप खींचिए, जो रेखा को A के दोनों ओर C तथा D पर काटे। इस प्रकार AC = AD होगा।
3. C तथा D को केन्द्र मानकर समान तथा AC से अधिक त्रिज्या लेकर A के ऊपर दो चाप खींचिए, जो E पर एक-दूसरे को काटें।
4. A तथा E को मिलाकर किरण AE खींचिए।

AE, CD का लम्ब समद्विभाजक है। अतः—

∠EAB = 90°

प्रश्न 9. (a - b) में क्या जोड़ें कि योगफल (2a + b) हो जाए?

उत्तर:

माना आवश्यक व्यंजक = x

प्रश्नानुसार—

(a - b) + x = 2a + b

अतः—

x = (2a + b) - (a - b)

= 2a + b - a + b

= a + 2b

अतः a + 2b जोड़ना होगा।

प्रश्न 10. चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या का अन्तर ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999

चार अंकों की सबसे छोटी संख्या = 1000

अतः अन्तर—

= 9999 - 1000

= 8999

प्रश्न 11. 5, 10 व 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

5 = 5

10 = 2 × 5

15 = 3 × 5

ल.स. के लिए सभी अभाज्य गुणनखण्डों की उच्चतम घात लेते हैं।

अतः—

ल.स. = 2 × 3 × 5

= 30

प्रश्न 12. एक वस्तु ₹20 में बेचने पर ₹5 की हानि होती है। प्रतिशत हानि ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

विक्रय मूल्य (SP) = ₹20

हानि = ₹5

हम जानते हैं—

हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य

अतः क्रय मूल्य—

= विक्रय मूल्य + हानि

= 20 + 5

= ₹25

हानि प्रतिशत—

= हानि/क्रय मूल्य × 100

= 5/25 × 100

= 1/5 × 100

= 20%

अतः प्रतिशत हानि 20% है।

प्रश्न 13. वह छोटी-से-छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें यदि 15, 20, 36 और 48 से अलग-अलग भाग दें, तो प्रत्येक स्थिति में 8 शेष बचे।

उत्तर:

प्रत्येक भाजक से भाग देने पर समान शेषफल 8 बचना है।

अतः अभीष्ट संख्या में से 8 घटाने पर प्राप्त संख्या 15, 20, 36 और 48 से पूर्णतः विभाजित होगी।

इसलिए पहले इन संख्याओं का ल.स. ज्ञात करते हैं।

15 = 3 × 5

20 = 2² × 5

36 = 2² × 3²

48 = 2⁴ × 3

अतः ल.स.—

= 2⁴ × 3² × 5

= 16 × 9 × 5

= 144 × 5

= 720

अब प्रत्येक स्थिति में 8 शेष चाहिए।

अतः अभीष्ट संख्या—

= 720 + 8

= 728

अतः छोटी-से-छोटी संख्या 728 है।

प्रश्न 14. एक रेलगाड़ी जिसकी लम्बाई 30 मीटर है, 120 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को 12 सेकण्ड में पार कर जाती है। रेलगाड़ी की चाल किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

रेलगाड़ी की लम्बाई = 30 मीटर

प्लेटफार्म की लम्बाई = 120 मीटर

प्लेटफार्म को पूरी तरह पार करने में रेलगाड़ी द्वारा तय की गई कुल दूरी—

= रेलगाड़ी की लम्बाई + प्लेटफार्म की लम्बाई

= 30 + 120

= 150 मीटर

समय = 12 सेकण्ड

चाल—

= दूरी/समय

= 150/12

= 25/2

= 12.5 मीटर/सेकण्ड

मीटर/सेकण्ड को किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करते हैं।

अतः—

= 12.5 × 18/5

= 25/2 × 18/5

= 5 × 9

= 45 किमी/घंटा

अतः रेलगाड़ी की चाल 45 किमी/घंटा है।

प्रश्न 15. 15 - [6 - {5 + (4 - 2 - 1)}] को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

15 - [6 - {5 + (4 - 2 - 1)}]

सबसे पहले भीतरी कोष्ठक हल करते हैं—

4 - 2 - 1

= 2 - 1

= 1

अतः—

= 15 - [6 - {5 + 1}]

= 15 - [6 - 6]

= 15 - 0

= 15

अतः दिए गए व्यंजक का मान 15 है।

प्रश्न 16. पार्श्व चित्र में त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए, यदि a = 3 तथा b = 2।

उत्तर:

त्रिभुज की तीनों भुजाएँ हैं—

पहली भुजा = (2a - b) सेमी

दूसरी भुजा = (a + b) सेमी

तीसरी भुजा = (3a - b) सेमी

त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग

= (2a - b) + (a + b) + (3a - b)

= 2a - b + a + b + 3a - b

= 6a - b

अब a = 3 तथा b = 2 रखने पर—

= 6 × 3 - 2

= 18 - 2

= 16 सेमी

अतः त्रिभुज का परिमाप 16 सेमी है।

प्रश्न 17. एक कमरा 15 मीटर 17 सेमी लम्बा तथा 9 मीटर 2 सेमी चौड़ा है। इसकी छत के निचले भाग में कम-से-कम कितनी वर्गाकार टाइलें लगेंगी?

उत्तर:

कमरे की लम्बाई—

= 15 मीटर 17 सेमी

= 15 × 100 + 17

= 1500 + 17

= 1517 सेमी

कमरे की चौड़ाई—

= 9 मीटर 2 सेमी

= 9 × 100 + 2

= 900 + 2

= 902 सेमी

कम-से-कम टाइलों के लिए सबसे बड़ी सम्भव वर्गाकार टाइल लेनी होगी।

अतः टाइल की भुजा = 1517 और 902 का म.स.

यूक्लिड विभाजन विधि से—

1517 = 902 × 1 + 615

902 = 615 × 1 + 287

615 = 287 × 2 + 41

287 = 41 × 7 + 0

अतः म.स. = 41

इसलिए सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा = 41 सेमी

लम्बाई की दिशा में टाइलों की संख्या—

= 1517/41

= 37

चौड़ाई की दिशा में टाइलों की संख्या—

= 902/41

= 22

अतः कुल टाइलों की संख्या—

= 37 × 22

= 814

अतः कम-से-कम 814 वर्गाकार टाइलें लगेंगी।

प्रश्न 18. किसी कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा पूर्णांक 600 में से किए गए कुल अंकों को दर्शाया गया है। आँकड़ों को दण्ड आरेख द्वारा निरूपित कीजिए।

उत्तर:

दण्ड आरेख के लिए पैमाना लेते हैं—

एक बराबर भाग = 50 अंक